Limites et Dérivation

Objectif : maîtriser les limites usuelles (fonctions puissances, racines, polynômes, rationnelles) et savoir les calculer avec une méthode rigoureuse, en mettant en évidence les idées clés (croissance, degré dominant, signe, et comportements à l’infini ou près de 0).

I- Limites des fonctions \(x^n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\) et \(\sqrt{x}\) et leurs inverses

Idée centrale : les fonctions \(x^n\) (avec \(n\ge 1\)) « amplifient » les grandes valeurs de \(x\), alors que \(\frac{1}{x^n}\) les « écrasent » vers 0. La fonction \(\sqrt{x}\) croît aussi, mais plus lentement que \(x\).

1) Limites de \(x^n\) quand \(x\to +\infty\) et \(x\to -\infty\)

Fait fondamental : pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \[ \lim_{x\to +\infty} x^n = +\infty. \]
Interprétation : quand \(x\) devient très grand, \(x^n\) devient encore plus grand.
Pour \(x\to -\infty\), le résultat dépend de la parité de \(n\) :
- si \(n\) est pair, alors \(x^n\) est positif et grand : \[ \lim_{x\to -\infty} x^n = +\infty. \]
- si \(n\) est impair, alors \(x^n\) reste négatif et de grande valeur absolue : \[ \lim_{x\to -\infty} x^n = -\infty. \]
Pourquoi ? si \(n\) est pair, le signe disparaît (\((-x)^n=x^n\)) ; si \(n\) est impair, le signe est conservé.

2) Limites de \(\frac{1}{x^n}\) quand \(x\to \pm\infty\)

Résultat : pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^n}=0 \quad \text{et} \quad \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^n}=0. \]
Explication : \(x^n\) devient très grand (en valeur absolue), donc son inverse devient très petit, proche de 0.

3) Limites de \(x^n\) et \(\frac{1}{x^n}\) quand \(x\to 0\)

\[ \lim_{x\to 0} x^n = 0 \quad (n\in\mathbb{N}^*). \] Car si \(x\) est très proche de 0, multiplier \(x\) par lui-même \(n\) fois rapproche encore plus de 0.
Pour l’inverse, on distingue les limites à droite et à gauche :
- si \(x\to 0^+\) alors \(x^n>0\) et très petit, donc \[ \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^n}=+\infty. \]
- si \(x\to 0^-\) :
  - si \(n\) est pair, \(x^n>0\) donc \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^n}=+\infty\).
  - si \(n\) est impair, \(x^n<0\) donc \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^n}=-\infty\).
Message important : près de 0, l’inverse \(\frac{1}{x^n}\) « explose » (diverge) et son signe dépend du signe de \(x^n\).

4) Limites de \(\sqrt{x}\) et de \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Attention : \(\sqrt{x}\) n’est définie (en réels) que pour \(x\ge 0\).

Quand \(x\to +\infty\), \[ \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty. \] Mais \(\sqrt{x}\) croît plus lentement que \(x\) (ex : \(\sqrt{10^6}=10^3\)).
Quand \(x\to 0^+\), \[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
Pour l’inverse : \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0 \quad \text{et} \quad \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty. \] Pourquoi ? même logique : quand \(\sqrt{x}\) devient très grand, son inverse va vers 0 ; quand \(\sqrt{x}\) devient très petit (près de 0), son inverse diverge.

Exercices d’application (I) — Corrigés détaillés

Exercice 1. Calculer les limites suivantes : \[ a)\ \lim_{x\to +\infty} x^5 \qquad b)\ \lim_{x\to -\infty} x^4 \qquad c)\ \lim_{x\to -\infty} x^5. \]

Solution détaillée :

a) Quand \(x\to +\infty\), \(x\) devient très grand positif. Élever à une puissance entière \(5\) conserve la positivité et augmente la grandeur : \[ \lim_{x\to +\infty} x^5=+\infty. \]
b) Ici \(n=4\) est pair. Quand \(x\to -\infty\), \(x\) devient très grand négatif, mais \(x^4\) est positif (car puissance paire) et très grand : \[ \lim_{x\to -\infty} x^4=+\infty. \]
c) Ici \(n=5\) est impair. Quand \(x\to -\infty\), la puissance impaire conserve le signe négatif : \[ \lim_{x\to -\infty} x^5=-\infty. \]

Exercice 2. Étudier les limites : \[ a)\ \lim_{x\to +\infty}\frac{7}{x^3} \qquad b)\ \lim_{x\to -\infty}\frac{-2}{x^4}. \]

Solution détaillée :

a) Quand \(x\to +\infty\), \(x^3\to +\infty\). Donc \(\frac{1}{x^3}\to 0\). Multiplier par 7 ne change pas la tendance vers 0 : \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{7}{x^3}=7\cdot \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^3}=7\cdot 0=0. \] Conclusion : la fraction devient de plus en plus petite.
b) Quand \(x\to -\infty\), \(x^4\to +\infty\) (puissance paire). Donc \(\frac{1}{x^4}\to 0\). Le numérateur vaut \(-2\), donc la fraction tend vers 0 par valeurs négatives, mais la limite reste 0 : \[ \lim_{x\to -\infty}\frac{-2}{x^4}=-2\cdot \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^4}=-2\cdot 0=0. \]

Exercice 3. Calculer : \[ a)\ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^3} \qquad b)\ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^3} \qquad c)\ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^4}. \]

Solution détaillée :

a) Si \(x\to 0^+\), alors \(x>0\) et \(x^3>0\) devient très petit. Diviser 1 par un nombre positif très petit donne un nombre très grand positif : \[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^3}=+\infty. \]
b) Si \(x\to 0^-\), alors \(x<0\) et \(x^3<0\) (puissance impaire conserve le signe) devient très proche de 0. Diviser 1 par un nombre négatif très petit donne un nombre très grand négatif : \[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^3}=-\infty. \]
c) Si \(x\to 0^-\), alors \(x^4>0\) (puissance paire) devient très petit positif. Donc l’inverse diverge vers \(+\infty\) : \[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^4}=+\infty. \]

Exercice 4. Calculer : \[ a)\ \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x} \qquad b)\ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}} \qquad c)\ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}. \]

Solution détaillée :

a) Quand \(x\to +\infty\), \(\sqrt{x}\) augmente sans borne : \[ \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty. \]
b) Si \(\sqrt{x}\to +\infty\), son inverse tend vers 0 : \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0. \]
c) Si \(x\to 0^+\), alors \(\sqrt{x}\to 0^+\). Diviser 1 par un très petit positif donne un très grand positif : \[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty. \]

II- Limites des fonctions polynômes et rationnelles

Idée centrale : pour les polynômes et les fractions rationnelles, le comportement à l’infini est gouverné par le terme (ou les termes) de plus haut degré. On dit que le degré dominant décide de la limite.

2-1/ Limite d’une fonction polynôme

Définition : un polynôme est une fonction de la forme \[ P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \] où \(n\in\mathbb{N}\) et \(a_n\ne 0\). Le nombre \(n\) s’appelle le degré de \(P\).

Principe de domination : quand \(x\to \pm\infty\), le terme \(a_n x^n\) domine les autres termes. En pratique, on compare \(P(x)\) à \(a_n x^n\) car les termes de degré plus petit deviennent négligeables devant \(x^n\).

Règle (à connaître) : si \(P(x)=a_nx^n+\cdots\) avec \(a_n\ne 0\), alors :

\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} P(x)=\lim_{x\to +\infty} a_nx^n\).
\(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} P(x)=\lim_{x\to -\infty} a_nx^n\).

Donc le signe de \(a_n\) et la parité de \(n\) déterminent la limite à \(-\infty\).

Méthode pratique (pas à pas) :

Repérer le degré \(n\) et le coefficient dominant \(a_n\).
Étudier la limite de \(a_nx^n\) lorsque \(x\to +\infty\) ou \(x\to -\infty\).
Conclure que \(P(x)\) a la même limite que \(a_nx^n\).

Exercices d’application (2-1) — Corrigés détaillés

Exercice 5. Calculer : \[ \lim_{x\to +\infty}\left(3x^4-5x^2+7\right). \]

Solution détaillée :

On a un polynôme de degré 4. Le terme dominant est \(3x^4\). Quand \(x\to +\infty\), on sait que \(x^4\to +\infty\), donc \(3x^4\to +\infty\). Les autres termes \(-5x^2\) et \(+7\) sont négligeables devant \(x^4\) : \[ \lim_{x\to +\infty}\left(3x^4-5x^2+7\right)=+\infty. \] Conclusion : le polynôme diverge vers \(+\infty\).

Exercice 6. Calculer : \[ \lim_{x\to -\infty}\left(-2x^5+x^3-1\right). \]

Solution détaillée :

Le degré est 5, le terme dominant est \(-2x^5\). Étudions d’abord \(x^5\) quand \(x\to -\infty\) : comme 5 est impair, \[ \lim_{x\to -\infty} x^5=-\infty. \] En multipliant par \(-2\), on renverse le signe : \[ \lim_{x\to -\infty}(-2x^5)= -2\cdot(-\infty)=+\infty. \] Les termes \(x^3\) et \(-1\) sont dominés par \(x^5\). Donc \[ \lim_{x\to -\infty}\left(-2x^5+x^3-1\right)=+\infty. \]

2-2/ Limite d’une fonction rationnelle

Définition : une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes : \[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \] avec \(Q(x)\ne 0\) sur le domaine considéré. Les limites se traitent selon le comportement dominant de \(P\) et \(Q\).

Cas A — Limite à l’infini : on compare les degrés. Soit \(\deg(P)=n\) et \(\deg(Q)=m\), et \(a_n\) (resp. \(b_m\)) les coefficients dominants.

Si \(n<m\) (le dénominateur domine), alors \[ \lim_{x\to \pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \] Intuition : le dénominateur grandit plus vite.
Si \(n=m\), alors la limite est le rapport des coefficients dominants : \[ \lim_{x\to \pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_n}{b_m}. \] Intuition : les puissances se compensent.
Si \(n>m\) (le numérateur domine), alors la fraction diverge : \[ \lim_{x\to \pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\pm\infty \ \text{ou}\ \mp\infty \] selon les signes et la parité (étude du terme dominant \(\frac{a_nx^n}{b_mx^m}=\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}\)).

Méthode standard : diviser le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de \(x\) présente (souvent \(x^m\), où \(m=\deg(Q)\)). Cela fait apparaître clairement la limite.

Exercices d’application (2-2) — Corrigés détaillés

Exercice 7. Calculer : \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-3x+1}{5x^3+4}. \]

Solution détaillée :

Ici \(\deg(P)=2\) et \(\deg(Q)=3\). Donc \(n<m\) : le dénominateur domine, on s’attend à une limite nulle. Faisons la méthode : on divise numérateur et dénominateur par \(x^3\) (la plus grande puissance au dénominateur) : \[ \frac{2x^2-3x+1}{5x^3+4} =\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{5+\frac{4}{x^3}}. \] Quand \(x\to +\infty\), on a \(\frac{1}{x}\to 0\), \(\frac{1}{x^2}\to 0\), \(\frac{1}{x^3}\to 0\). Donc le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur tend vers \(5\). Par conséquent : \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-3x+1}{5x^3+4}=\frac{0}{5}=0. \]

Exercice 8. Calculer : \[ \lim_{x\to -\infty}\frac{-3x^4+2x}{6x^4-5}. \]

Solution détaillée :

Ici \(\deg(P)=4\) et \(\deg(Q)=4\). Donc \(n=m\) : la limite est le rapport des coefficients dominants \(\frac{-3}{6}\). Vérifions par division par \(x^4\) : \[ \frac{-3x^4+2x}{6x^4-5} =\frac{-3+\frac{2}{x^3}}{6-\frac{5}{x^4}}. \] Quand \(x\to -\infty\), \(\frac{2}{x^3}\to 0\) et \(\frac{5}{x^4}\to 0\). Donc : \[ \lim_{x\to -\infty}\frac{-3x^4+2x}{6x^4-5}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}. \]

Exercice 9. Calculer : \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{x^5-4x}{2x^2+1}. \]

Solution détaillée :

Ici \(\deg(P)=5\) et \(\deg(Q)=2\). Donc \(n>m\) : le numérateur domine. Pour voir la croissance, on écrit le terme dominant : \[ \frac{x^5-4x}{2x^2+1}\sim \frac{x^5}{2x^2}=\frac{1}{2}x^3 \quad \text{quand } x\to +\infty. \] Or \(x^3\to +\infty\) quand \(x\to +\infty\). Donc \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{x^5-4x}{2x^2+1}=+\infty. \] Conclusion : la fraction diverge vers \(+\infty\) (croissance cubique approximative).

III- Limites des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques interviennent très souvent dans les limites au voisinage de \(0\) et dans l’étude de la continuité. Les limites fondamentales à connaître permettent de traiter ensuite des expressions plus complexes par transformation.

Limites trigonométriques fondamentales (en radians) :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \quad \text{et donc} \quad \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1. \]
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0 \quad \text{et} \quad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1 \quad (\text{car } \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \text{ et } \cos 0=1). \]

Remarque importante : toutes ces limites sont valables lorsque les angles sont exprimés en radians. En baccalauréat, on travaille presque toujours en radians dans l’étude des limites.

Technique standard : si l’on a \(\sin(ax)\), \(\tan(ax)\) ou \(1-\cos(ax)\), on pose souvent \(u=ax\) (donc \(u\to 0\) lorsque \(x\to 0\)), puis on utilise les limites fondamentales.

Exercices d’application (III) — Corrigés détaillés

Exercice 10. Calculer : \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}. \]

Solution détaillée :

On transforme pour faire apparaître \(\frac{\sin u}{u}\). Écrivons : \[ \frac{\sin(5x)}{x}=\frac{\sin(5x)}{5x}\cdot 5. \] Quand \(x\to 0\), alors \(5x\to 0\), donc \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{5x}=1. \] Par conséquent : \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}=1\cdot 5=5. \]

Exercice 11. Calculer : \[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}. \]

Solution détaillée :

On sait que \(\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac{1}{2}\). Ici \(u=3x\), donc : \[ \frac{1-\cos(3x)}{x^2} =\frac{1-\cos(3x)}{(3x)^2}\cdot 9. \] Quand \(x\to 0\), \(3x\to 0\), donc \[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{(3x)^2}=\frac{1}{2}. \] Ainsi : \[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}=\frac{1}{2}\cdot 9=\frac{9}{2}. \]

Exercice 12. Calculer : \[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}. \]

Solution détaillée :

On utilise un développement limité (niveau bac) : \[ \sin x = x – \frac{x^3}{6}+o(x^3), \quad \tan x = x + \frac{x^3}{3}+o(x^3). \] Donc : \[ \tan x-\sin x=\left(x+\frac{x^3}{3}\right)-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+o(x^3) =\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)x^3+o(x^3) =\frac{1}{2}x^3+o(x^3). \] En divisant par \(x^3\) : \[ \frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{2}+\frac{o(x^3)}{x^3}. \] Or \(\frac{o(x^3)}{x^3}\to 0\) quand \(x\to 0\). Donc : \[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{2}. \]

IV- Limites des fonctions de type \(\sqrt{u(x)}\)

Les expressions contenant une racine carrée provoquent souvent des formes indéterminées, notamment du type \(0/0\) ou \(\infty-\infty\). La technique la plus utilisée est la rationalisation (multiplication par le conjugué).

Condition de définition : pour \(\sqrt{u(x)}\) (en réels), il faut \(u(x)\ge 0\) sur le domaine étudié.

1) Continuité de la racine carrée (cas simple)

Si \(\displaystyle \lim_{x\to a}u(x)=\ell\) et si \(\ell\ge 0\), alors \[ \lim_{x\to a}\sqrt{u(x)}=\sqrt{\ell}. \] Idée : la fonction \(t\mapsto \sqrt{t}\) est continue sur \([0,+\infty[\).

2) Technique du conjugué (indispensable)

Formule clé : \[ (\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B. \] Elle permet de supprimer la racine dans les expressions de type \(\sqrt{A}-\sqrt{B}\).

Exercices d’application (IV) — Corrigés détaillés

Exercice 13. Calculer : \[ \lim_{x\to 4}\sqrt{x}. \]

Solution détaillée :

La fonction \(\sqrt{x}\) est continue sur \([0,+\infty[\). Comme \(4\ge 0\), \[ \lim_{x\to 4}\sqrt{x}=\sqrt{4}=2. \]

Exercice 14. Calculer : \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]

Solution détaillée :

La forme est \(0/0\). On rationalise en multipliant par le conjugué \(\sqrt{1+x}+1\) : \[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} =\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} =\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}. \] On simplifie par \(x\neq 0\) (pour \(x\) proche de 0) : \[ \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \] Quand \(x\to 0\), \(\sqrt{1+x}\to 1\), donc \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}. \]

Exercice 15. Calculer : \[ \lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right). \]

Solution détaillée :

On reconnaît une forme \(\infty-\infty\). On rationalise : \[ \sqrt{x^2+3x}-x=\frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{\sqrt{x^2+3x}+x} =\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} =\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}. \] Factorisons \(x\) dans la racine (pour \(x\to +\infty\), \(x>0\)) : \[ \sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}\right)}=x\sqrt{1+\frac{3}{x}}. \] Alors : \[ \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} =\frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}+x} =\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}. \] Quand \(x\to +\infty\), \(\frac{3}{x}\to 0\) donc \(\sqrt{1+\frac{3}{x}}\to 1\). Ainsi : \[ \lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}. \]

V- Théorème de comparaison

Le théorème de comparaison est un outil essentiel pour déduire une limite à partir de deux fonctions « encadrantes ». Il est très utilisé pour établir des limites lorsque le calcul direct est difficile.

Théorème (forme classique) :
Si, au voisinage de \(a\), on a \(f(x)\le g(x)\le h(x)\) et \[ \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, \] alors \[ \lim_{x\to a} g(x)=L. \] On dit que \(g\) est « prise en sandwich » entre \(f\) et \(h\).

Théorème (limites infinies) :
Si \(f(x)\le g(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\), alors \(\lim_{x\to a}g(x)=+\infty\).
De même, si \(g(x)\le h(x)\) et \(\lim_{x\to a}h(x)=-\infty\), alors \(\lim_{x\to a}g(x)=-\infty\).

Exercices d’application (V) — Corrigés détaillés

Exercice 16. Montrer que : \[ \lim_{x\to 0}\ x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0. \]

Solution détaillée :

On sait que pour tout réel \(t\), \(-1\le \sin t \le 1\). En remplaçant \(t\) par \(\frac{1}{x}\), on obtient (pour \(x\neq 0\)) : \[ -1\le \sin\left(\frac{1}{x}\right)\le 1. \] En multipliant par \(|x|\ge 0\), on conserve l’inégalité : \[ -|x|\le x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le |x|. \] Or \[ \lim_{x\to 0}|x|=0 \quad \text{et} \quad \lim_{x\to 0}(-|x|)=0. \] Par le théorème de comparaison : \[ \lim_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0. \]

Exercice 17. Calculer : \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x}. \]

Solution détaillée :

Comme \(-1\le \sin x \le 1\), on peut diviser par \(x>0\) (pour \(x\to +\infty\)) : \[ -\frac{1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}. \] Or \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0\) et \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0\). Donc, par comparaison : \[ \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x}=0. \]

VI- Limites et opérations

Une grande partie des calculs de limites repose sur les propriétés algébriques : somme, produit, quotient, compositions. Il faut aussi reconnaître les formes indéterminées et savoir les transformer.

Règles (si les limites existent et sont finies) :

Si \(\lim f = \ell\) et \(\lim g = m\), alors \(\lim(f+g)=\ell+m\).
\(\lim(\lambda f)=\lambda \ell\) pour tout réel \(\lambda\).
\(\lim(fg)=\ell m\).
Si \(m\neq 0\), alors \(\displaystyle \lim\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\ell}{m}\).
Si \(g(x)\to b\) et \(f\) est continue en \(b\), alors \(\lim f(g(x)) = f(b)\).

Formes indéterminées fréquentes : \[ \frac{0}{0},\ \frac{\infty}{\infty},\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty. \] On ne conclut jamais directement : on transforme (factorisation, mise au même dénominateur, conjugué, division par la plus grande puissance, etc.).

Exercices d’application (VI) — Corrigés détaillés

Exercice 18. Calculer : \[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}. \]

Solution détaillée :

En remplaçant \(x=2\), on obtient \(\frac{0}{0}\) : forme indéterminée. On factorise \(x^2-4\) : \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \] Donc, pour \(x\neq 2\) : \[ \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2. \] Ainsi : \[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4. \]

Exercice 19. Calculer : \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\sqrt{1+x}-1}. \]

Solution détaillée :

Quand \(x\to 0\), \(\sin x\to 0\) et \(\sqrt{1+x}-1\to 0\) : forme \(\frac{0}{0}\). On rationalise le dénominateur : \[ \frac{\sin x}{\sqrt{1+x}-1}\cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} =\frac{\sin x(\sqrt{1+x}+1)}{(1+x)-1} =\frac{\sin x(\sqrt{1+x}+1)}{x}. \] On sépare : \[ \frac{\sin x}{x}\cdot (\sqrt{1+x}+1). \] Or \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\) et \(\displaystyle \lim_{x\to 0}(\sqrt{1+x}+1)=1+1=2\). Donc : \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\sqrt{1+x}-1}=1\cdot 2=2. \]

VII- La dérivabilité

La dérivabilité formalise l’idée de « taux de variation instantané » et de « tangente » à une courbe. Elle constitue la base de l’étude des variations, des extrema, et des problèmes d’optimisation au niveau baccalauréat.

7-1/ Fonction dérivable en un point

Définition (dérivée en \(a\)) : On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie : \[ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \] Ce nombre \(f'(a)\) s’appelle la dérivée de \(f\) en \(a\).

Interprétation géométrique : la quantité \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) est la pente de la sécante reliant les points \((a,f(a))\) et \((a+h,f(a+h))\). Quand \(h\to 0\), la sécante tend vers la tangente en \(a\). Ainsi, \(f'(a)\) est la pente de la tangente.

Lien avec la continuité : si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). (La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable.)

Dérivées usuelles (à connaître)

\((x^n)’ = nx^{n-1}\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\).
\((\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) pour \(x>0\).
\((\sin x)’=\cos x\), \((\cos x)’=-\sin x\).
\((\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}\) (là où \(\cos x\neq 0\)).
\((uv)’=u’v+uv’\) et \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}\) si \(v\neq 0\).
\((f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\) (règle de la chaîne).

Exercices d’application (VII) — Corrigés très détaillés

Exercice 20. Soit \(f(x)=x^2\). Calculer \(f'(1)\) à partir de la définition.

Solution détaillée :

On applique la définition : \[ f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}. \] On calcule d’abord \(f(1+h)\) : \[ f(1+h)=(1+h)^2=1+2h+h^2. \] Ensuite \(f(1)=1^2=1\). Donc : \[ \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+2h+h^2)-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}. \] On factorise \(h\) : \[ \frac{2h+h^2}{h}=\frac{h(2+h)}{h}=2+h \quad (h\neq 0). \] On prend la limite quand \(h\to 0\) : \[ f'(1)=\lim_{h\to 0}(2+h)=2. \] Conclusion : la pente de la tangente à \(y=x^2\) au point d’abscisse 1 vaut 2.

Exercice 21. Calculer la dérivée de \(g(x)=\frac{3x^2-1}{x}\) sur son domaine.

Solution détaillée :

Domaine : \(x\neq 0\). On simplifie d’abord : \[ g(x)=\frac{3x^2}{x}-\frac{1}{x}=3x-\frac{1}{x}. \] On dérive terme à terme : \[ (3x)’=3,\quad \left(-\frac{1}{x}\right)’= -\left(x^{-1}\right)’= -(-1)x^{-2}=x^{-2}=\frac{1}{x^2}. \] Donc : \[ g'(x)=3+\frac{1}{x^2}\quad (x\neq 0). \]

Exercice 22. Soit \(h(x)=\sqrt{x}\). Calculer \(h'(4)\) et écrire l’équation de la tangente en \(x=4\).

Solution détaillée :

On sait que pour \(x>0\), \[ (\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}. \] Donc : \[ h'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}. \] Le point de contact est \((4,h(4))=(4,2)\). L’équation de la tangente en \(x=4\) est : \[ y=h'(4)(x-4)+h(4)=\frac{1}{4}(x-4)+2. \] On peut simplifier : \[ y=\frac{1}{4}x-1+2=\frac{1}{4}x+1. \] Conclusion : tangente : \(\displaystyle y=\frac{1}{4}x+1\).

7-2/ Dérivée des fonctions usuelles

Dans cette partie, on regroupe les dérivées les plus utilisées au baccalauréat. L’objectif est double : (1) savoir reconnaître rapidement le type de fonction, (2) appliquer la formule correcte, en respectant le domaine de définition.

Table des dérivées usuelles (niveau Bac) :

Fonction \(f(x)\)	Domaine	Dérivée \(f'(x)\)
\(k\) (constante)	\(\mathbb{R}\)	\(0\)
\(x\)	\(\mathbb{R}\)	\(1\)
\(x^n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\)	\(\mathbb{R}\)	\(nx^{n-1}\)
\(\frac{1}{x}=x^{-1}\)	\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)	\(-\frac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)	\([0,+\infty[\) (dérivable pour \(x>0\))	\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) (pour \(x>0\))
\(\sin x\)	\(\mathbb{R}\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(\mathbb{R}\)	\(-\sin x\)
\(\tan x\)	\(\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\)	\(\frac{1}{\cos^2 x}\)

Point méthodologique : pour éviter les erreurs, on commence toujours par vérifier le domaine. Par exemple, \(\frac{1}{x}\) n’existe pas en \(x=0\), et \(\sqrt{x}\) n’est pas définie pour \(x<0\) (en réels).

Exercices d’application (7-2) — Corrigés détaillés

Exercice 23. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : \[ a)\ f(x)=7x^5 \qquad b)\ g(x)=\frac{3}{x} \qquad c)\ h(x)=2\sqrt{x}. \]

Solution détaillée :

a) \(f(x)=7x^5\). On utilise \((x^n)’=nx^{n-1}\) et la constante multiplicative : \[ f'(x)=7\cdot (x^5)’=7\cdot 5x^4=35x^4. \]
b) \(g(x)=\frac{3}{x}=3x^{-1}\), domaine \(x\neq 0\). \[ g'(x)=3\cdot (x^{-1})’=3\cdot (-1)x^{-2}=-\frac{3}{x^2}\quad (x\neq 0). \]
c) \(h(x)=2\sqrt{x}=2x^{1/2}\), définie pour \(x\ge 0\), dérivable pour \(x>0\). \[ h'(x)=2\cdot \left(x^{\frac{1}{2}}\right)’=2\cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\quad (x>0). \]

Exercice 24. Calculer \( (\sin x)’ \), \( (\cos x)’ \) et en déduire la dérivée de \(p(x)=3\sin x-2\cos x\).

Solution détaillée :

On connaît : \[ (\sin x)’=\cos x,\qquad (\cos x)’=-\sin x. \] Ensuite, on dérive \(p(x)=3\sin x-2\cos x\) par linéarité : \[ p'(x)=3(\sin x)’-2(\cos x)’=3\cos x-2(-\sin x)=3\cos x+2\sin x. \]

7-3/ Opérations sur les fonctions dérivées — Dérivée d’une fonction composée

Une fois les dérivées usuelles connues, l’essentiel du travail consiste à combiner ces dérivées grâce aux règles d’opérations (somme, produit, quotient) et à la règle de la chaîne (composition).

Règles d’opérations :

Somme : \((u+v)’=u’+v’\).
Produit : \((uv)’=u’v+uv’\).
Quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}\) (si \(v\neq 0\)).

Règle de la chaîne (composition) :
Si \(y=f(u(x))\) avec \(u\) dérivable et \(f\) dérivable, alors \[ (f(u(x)))’=f'(u(x))\cdot u'(x). \]

Méthode très sûre pour une composée :

Identifier la fonction intérieure \(u(x)\).
Identifier la fonction extérieure \(f\).
Calculer \(u'(x)\) puis \(f'(u(x))\).
Multiplier : \((f\circ u)'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x)\).

Exercices d’application (7-3) — Corrigés détaillés

Exercice 25. Soit \(f(x)=(x^2+1)(3x-2)\). Calculer \(f'(x)\).

Solution détaillée :

On reconnaît un produit : \(u(x)=x^2+1\) et \(v(x)=3x-2\). Alors : \[ f'(x)=u’v+uv’. \] On calcule : \[ u'(x)=(x^2+1)’=2x,\qquad v'(x)=(3x-2)’=3. \] Donc : \[ f'(x)=2x(3x-2)+(x^2+1)\cdot 3. \] On peut développer (optionnel) : \[ f'(x)=6x^2-4x+3x^2+3=9x^2-4x+3. \]

Exercice 26. Soit \(g(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\). Calculer \(g'(x)\) sur son domaine.

Solution détaillée :

Domaine : \(x\neq 1\). C’est un quotient : \(u(x)=x^2+1\), \(v(x)=x-1\). \[ g'(x)=\frac{u’v-uv’}{v^2}. \] On calcule : \[ u'(x)=2x,\qquad v'(x)=1. \] Donc : \[ g'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2} =\frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}. \]

Exercice 27. Soit \(h(x)=\sqrt{1+x^2}\). Calculer \(h'(x)\).

Solution détaillée :

On reconnaît une composition. Posons : \[ u(x)=1+x^2 \quad \text{et} \quad f(t)=\sqrt{t}. \] Alors \(h(x)=f(u(x))\). On a : \[ f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}} \quad (t>0), \qquad u'(x)=2x. \] Par la règle de la chaîne : \[ h'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x) =\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. \] Remarque : \(1+x^2>0\) pour tout \(x\), donc la formule est valable sur \(\mathbb{R}\).

7-4/ Dérivée et sens de variation

La dérivée permet de déterminer si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle. C’est l’outil principal pour construire un tableau de variations et pour repérer les extremums (maximum/minimum).

Théorème : Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).

Si \(f'(x)\ge 0\) pour tout \(x\in I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\).
Si \(f'(x)\le 0\) pour tout \(x\in I\), alors \(f\) est décroissante sur \(I\).
Si \(f'(x)> 0\) (strict) alors \(f\) est strictement croissante ; si \(f'(x)<0\) (strict) alors strictement décroissante.

Extremum local (idée bac) :
Si \(f’\) change de signe en \(a\) :

de \(+\) vers \(-\), alors \(f\) admet un maximum local en \(a\).
de \(-\) vers \(+\), alors \(f\) admet un minimum local en \(a\).

Méthode pour le tableau de variations :

Calculer \(f'(x)\).
Étudier le signe de \(f'(x)\) (résoudre \(f'(x)=0\), repérer les changements de signe).
Conclure sur les intervalles de croissance/décroissance.
Calculer \(f(x)\) aux points clés (bornes, points critiques) pour compléter le tableau.

Exercices d’application (7-4) — Corrigés détaillés

Exercice 28. Étudier le sens de variation de \(f(x)=x^3-3x\) sur \(\mathbb{R}\), puis déterminer ses extremums.

Solution détaillée :

1) On dérive : \[ f'(x)=(x^3)’- (3x)’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1). \] 2) Les points critiques vérifient \(f'(x)=0\) : \[ 3(x-1)(x+1)=0 \Longrightarrow x=1 \ \text{ou}\ x=-1. \] 3) Signe de \(f'(x)\) :

Si \(x<-1\) : \((x-1)<0\) et \((x+1)<0\) donc produit \(+\) et \(f'(x)>0\).
Si \(-1<x<1\) : \((x-1)<0\), \((x+1)>0\) donc produit \(-\) et \(f'(x)<0\).
Si \(x>1\) : \((x-1)>0\), \((x+1)>0\) donc produit \(+\) et \(f'(x)>0\).

Donc \(f\) est croissante sur \((-\infty,-1]\), décroissante sur \([-1,1]\), puis croissante sur \([1,+\infty)\). 4) Valeurs aux points critiques : \[ f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2,\qquad f(1)=1-3=-2. \] 5) Conclusion :

En \(x=-1\), \(f’\) passe de \(+\) à \(-\) : maximum local de valeur \(2\).
En \(x=1\), \(f’\) passe de \(-\) à \(+\) : minimum local de valeur \(-2\).

Exercice 29. Étudier le sens de variation de \(g(x)=\frac{1}{x}\) sur \(]-\infty,0[\) puis sur \(]0,+\infty[\).

Solution détaillée :

Domaine : \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). On dérive : \[ g(x)=x^{-1}\quad \Rightarrow \quad g'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}. \] Or pour tout \(x\neq 0\), \(x^2>0\) donc \(\frac{1}{x^2}>0\) et ainsi \[ g'(x)=-\frac{1}{x^2}<0. \] Donc \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty,0[\) et aussi strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\).
Remarque : on sépare bien les deux intervalles car \(g\) n’est pas définie en 0.

Application complète : tableau de variations (méthode type Bac)

Cette partie montre pas à pas comment construire un tableau de variations, exactement comme attendu à l’examen du baccalauréat. La méthode est universelle et s’applique à la majorité des fonctions dérivables étudiées.

Méthode standard (à apprendre par cœur) :

Déterminer le domaine de définition de la fonction.
Calculer la dérivée \(f'(x)\).
Résoudre \(f'(x)=0\) et repérer les points critiques.
Étudier le signe de \(f'(x)\).
En déduire le sens de variation de \(f\).
Calculer les valeurs de \(f\) aux points importants pour compléter le tableau.

Exemple guidé complet

Étudier les variations de la fonction \[ f(x)=x^2-4x+3. \]

1) Domaine : \(f\) est un polynôme, donc définie sur \(\mathbb{R}\).

2) Dérivée : \[ f'(x)=(x^2)’-4x’+3’=2x-4. \]

3) Points critiques : \[ f'(x)=0 \Longleftrightarrow 2x-4=0 \Longleftrightarrow x=2. \]

4) Signe de \(f'(x)\) :

Si \(x<2\), alors \(2x-4<0\), donc \(f'(x)<0\).
Si \(x>2\), alors \(2x-4>0\), donc \(f'(x)>0\).

5) Variations : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,2]\) puis croissante sur \([2,+\infty[\).

6) Valeur au point critique : \[ f(2)=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1. \] Donc \(f\) admet un minimum égal à \(-1\) en \(x=2\).

Tableau de variations :

x        -∞          2          +∞
f'(x)     -          0           +
f(x)     +∞    ↓    -1     ↑    +∞

Exercices type Baccalauréat — Corrigés détaillés

Les exercices suivants sont classés par niveau de difficulté croissante et couvrent les situations les plus fréquentes à l’examen national.

Exercice Bac 1. Soit \(f(x)=x^3-3x^2+2\).
a) Calculer \(f'(x)\). b) Étudier le sens de variation de \(f\). c) Dresser le tableau de variations.

Solution détaillée :

a) Dérivée : \[ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). \]

b) Résolution de \(f'(x)=0\) : \[ 3x(x-2)=0 \Longrightarrow x=0 \ \text{ou}\ x=2. \] Étude du signe :

Si \(x<0\), \(f'(x)>0\).
Si \(0<x<2\), \(f'(x)<0\).
Si \(x>2\), \(f'(x)>0\).

c) Valeurs de la fonction : \[ f(0)=2,\qquad f(2)=8-12+2=-2. \] Tableau de variations :

x        -∞        0        2        +∞
f'(x)     +        0        -        0        +
f(x)     -∞   ↑    2   ↓   -2   ↑   +∞

Exercice Bac 2. Soit \(g(x)=\sqrt{x}-x\), définie sur \([0,+\infty[\).
Étudier le sens de variation de \(g\).

Solution détaillée :

Domaine : \(x\ge 0\). Dérivée (pour \(x>0\)) : \[ g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1. \] Résolution de \(g'(x)=0\) : \[ \frac{1}{2\sqrt{x}}=1 \Longleftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow x=\frac{1}{4}. \] Signe :

Si \(0<x<\frac{1}{4}\), alors \(g'(x)>0\).
Si \(x>\frac{1}{4}\), alors \(g'(x)<0\).

Donc \(g\) est croissante sur \([0,\frac{1}{4}]\) puis décroissante sur \([\frac{1}{4},+\infty[\).

Valeur maximale : \[ g\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}. \]

Exercice Bac 3. Soit \(h(x)=\frac{x}{x^2+1}\).
Étudier les variations de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).

Solution détaillée :

Domaine : \(\mathbb{R}\). Dérivée : \[ h'(x)=\frac{(x^2+1)\cdot 1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}. \] Le dénominateur est toujours positif. Le signe de \(h'(x)\) dépend donc de \(1-x^2\).

Si \(|x|<1\), alors \(h'(x)>0\).
Si \(|x|>1\), alors \(h'(x)<0\).

Donc \(h\) est croissante sur \([-1,1]\) et décroissante sur \(]-\infty,-1]\) et \([1,+\infty[\).

Valeurs aux points critiques : \[ h(-1)=-\frac{1}{2},\qquad h(1)=\frac{1}{2}. \]

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