Limite d’une suite

Cours complet & progressif (niveau baccalauréat) + exercices type examen national corrigés.

🎯 Objectifs du cours

• Comprendre les notions de majoration, minoration, bornes et monotonie.
• Maîtriser les suites arithmétiques et géométriques (terme général, somme \(S_n\)).
• Définir et interpréter la limite d’une suite (finie ou infinie).
• Appliquer les opérations sur les limites et les critères de convergence.
• Étudier des suites particulières (formes usuelles et suites récurrentes).

🧭 Idée clé (interprétation graphique)

Une suite \((u_n)\) peut être vue comme une liste de nombres \(u_0, u_1, u_2, \dots\). Graphiquement, on place les points \((n, u_n)\) dans un repère : on obtient un nuage de points (pas une courbe continue).

📌 Lecture graphique d’une limite

• Si les points \((n,u_n)\) se rapprochent d’une hauteur constante \(L\), alors \(u_n \to L\).
• Si les points montent sans borne, alors \(u_n \to +\infty\). S’ils descendent sans borne : \(u_n \to -\infty\).

I- Généralité sur les suites

1-1/ Suite majorée – suite minorée – suite bornée

✅ Définitions

• Suite majorée

La suite \((u_n)\) est majorée s’il existe un réel \(M\) tel que, pour tout \(n\), \[ u_n \le M \]

• Suite minorée

La suite \((u_n)\) est minorée s’il existe un réel \(m\) tel que, pour tout \(n\), \[ u_n \ge m \]

• Suite bornée

La suite \((u_n)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire s’il existe \(m\) et \(M\) tels que, pour tout \(n\), \[ m \le u_n \le M \]

🔍 Sens pédagogique

• Majorée : la suite ne dépasse jamais une certaine “hauteur” \(M\).
• Minorée : la suite ne descend jamais en dessous d’un certain “plancher” \(m\).
• Bornée : la suite reste enfermée dans un intervalle \([m, M]\).

📌 Exemple guidé

Soit \(u_n = \frac{n}{n+1}\). On a \(0 \le \frac{n}{n+1} < 1\) pour tout \(n\). Donc la suite est bornée : on peut choisir \(m=0\) et \(M=1\).

1-2/ La monotonie d’une suite

✅ Définitions

• Suite croissante

\((u_n)\) est croissante si, pour tout \(n\), \[ u_{n+1} \ge u_n \]

• Suite décroissante

\((u_n)\) est décroissante si, pour tout \(n\), \[ u_{n+1} \le u_n \]

• Suite monotone

Une suite est monotone si elle est soit croissante soit décroissante.

🧠 Méthodes classiques pour étudier la monotonie

• Étudier le signe de \(u_{n+1} – u_n\).
• Étudier le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) (si \(u_n > 0\)).
• Si \(u_n = f(n)\), étudier la fonction \(f\) (croissance/décroissance).

II- Suite arithmétique

2-1/ Définition

✅ Définition

Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\) (la raison) tel que, pour tout \(n\), \[ u_{n+1} = u_n + r \] Cela signifie qu’on ajoute toujours le même nombre \(r\) d’un terme au suivant.

📌 Terme général

Si \(u_0\) est connu, alors : \[ u_n = u_0 + nr \] Si \(u_1\) est connu, alors : \[ u_n = u_1 + (n-1)r \]

2-2/ La somme \(S_n\)

✅ Somme des \(n+1\) premiers termes

Pour une suite arithmétique, on définit : \[ S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n \] La formule : \[ S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} \]

🧠 Justification pédagogique (idée)

On additionne la somme dans l’ordre puis dans l’ordre inverse, ce qui donne toujours \(u_0+u_n\), répété \((n+1)\) fois, puis on divise par 2.

2-3/ Caractéristiques

📌 Propriétés

• Si \(r > 0\) : \((u_n)\) est croissante.
• Si \(r < 0\) : \((u_n)\) est décroissante.
• Si \(r = 0\) : \((u_n)\) est constante.
• La suite arithmétique diverge en général (sauf si \(r=0\)).

III- Suite géométrique

3-1/ Définition

✅ Définition

Une suite \((u_n)\) est géométrique s’il existe un réel \(q\) (la raison) tel que, pour tout \(n\), \[ u_{n+1} = q u_n \] Cela signifie qu’on multiplie toujours par le même nombre \(q\).

📌 Terme général

Si \(u_0\) est connu : \[ u_n = u_0 q^n \] Si \(u_1\) est connu : \[ u_n = u_1 q^{n-1} \]

3-2/ La somme \(S_n\)

✅ Somme des \(n+1\) premiers termes

\[ S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n \] Si \(q \ne 1\), alors : \[ S_n = u_0 \frac{1 – q^{n+1}}{1-q} \]

🧠 Justification pédagogique (idée)

On calcule \(S_n – qS_n\). La majorité des termes s’annule, il reste \(u_0 – u_0 q^{n+1}\), puis on isole \(S_n\).

3-3/ Caractéristiques

📌 Propriétés et intuition

• Si \(|q| < 1\), les termes \(q^n\) deviennent très petits : \(q^n \to 0\).
• Si \(|q| > 1\), les termes grandissent en valeur absolue : \(|q^n| \to +\infty\).
• Si \(q = 1\), la suite est constante : \(u_n = u_0\).
• Si \(q = -1\), la suite alterne : \(u_n = u_0(-1)^n\) (elle ne converge pas si \(u_0 \ne 0\)).

IV- Limites d’une suite numérique

4-1/ Limite finie d’une suite

✅ Définition (niveau bac, formulation claire)

Dire que \((u_n)\) a pour limite le réel \(L\), c’est dire que les termes \(u_n\) se rapprochent de \(L\) quand \(n\) devient très grand. On note : \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = L \quad \text{ou} \quad u_n \to L \]

🔎 Lecture graphique

Sur le nuage de points \((n, u_n)\), si les points se “stabilisent” autour de la hauteur \(L\), alors la suite converge vers \(L\).

4-2/ Limite infinie d’une suite

✅ Définition

On dit que \((u_n)\) a une limite infinie si ses termes deviennent arbitrairement grands (ou petits).

• \(u_n \to +\infty\) si \(u_n\) dépasse toute valeur réelle à partir d’un certain rang.
• \(u_n \to -\infty\) si \(u_n\) devient inférieur à toute valeur réelle à partir d’un certain rang.

4-3/ Convergence d’une suite numérique

✅ Conclusion importante

Une suite est convergente si elle admet une limite finie \(L\). Si elle n’a pas de limite finie, elle est divergente (elle peut tendre vers \(+\infty\), \(-\infty\) ou osciller).

V- Opérations sur les limites des suites

✅ Règles essentielles (si les limites existent et sont finies)

• Si \(u_n \to a\) et \(v_n \to b\), alors \(u_n + v_n \to a + b\).
• Si \(u_n \to a\) et \(v_n \to b\), alors \(u_n – v_n \to a – b\).
• Si \(u_n \to a\) et \(v_n \to b\), alors \(u_n v_n \to ab\).
• Si \(u_n \to a\) et \(v_n \to b\) et \(b \ne 0\), alors \(\frac{u_n}{v_n} \to \frac{a}{b}\).

⚠️ Attention : formes indéterminées

Des cas comme \(\infty – \infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\) ne se traitent pas directement : il faut transformer l’expression (factoriser, mettre au même dénominateur, comparer, etc.).

VI- Critères de convergences

✅ Théorème fondamental (bac)

Si une suite est monotone et bornée, alors elle est convergente.

• Suite croissante et majorée \(\Rightarrow\) convergente.
• Suite décroissante et minorée \(\Rightarrow\) convergente.

🧠 Pourquoi c’est logique ? (intuition)

Une suite monotone avance “dans un seul sens”. Si en plus elle est bloquée par une borne, elle ne peut pas s’échapper : elle se rapproche d’une valeur limite.

VII- Suites particulières

7-1/ Suite de la forme \(u_n=q^n\) avec \(q\in\mathbf{R}\)

✅ Résultats essentiels

• Si \(|q| < 1\), alors \(q^n \to 0\).
• Si \(q = 1\), alors \(q^n \to 1\).
• Si \(q > 1\), alors \(q^n \to +\infty\).
• Si \(q \le -1\) et \(q \ne -1\), la suite ne converge pas (elle oscille et grandit en valeur absolue).
• Si \(q = -1\), \(q^n\) oscille entre \(1\) et \(-1\) : pas de limite.

7-2/ Suite de la forme \(u_n=n^r\) avec \(r\in\mathbf{Q}^*\)

✅ Résultats (cas usuels)

• Si \(r > 0\), alors \(n^r \to +\infty\).
• Si \(r < 0\), alors \(n^r = \frac{1}{n^{-r}} \to 0\).

Exemple : \(u_n=\sqrt{n}=n^{\frac{1}{2}} \to +\infty\). Exemple : \(u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=n^{-\frac{1}{2}} \to 0\).

7-3/ Suite de la forme \(v_n=f(u_n)\)

✅ Principe

Si \(u_n \to L\) et si la fonction \(f\) est continue en \(L\), alors : \[ f(u_n) \to f(L) \] Cela permet de calculer rapidement des limites, à condition de vérifier la continuité.

7-4/ Suite de la forme \(u_{n+1}=f(u_n)\)

✅ Méthode classique au bac (suite récurrente)

1. Montrer que la suite est bornée (souvent par encadrement : si \(u_n\in I\) alors \(u_{n+1}=f(u_n)\in I\)).
2. Montrer la monotonie en étudiant \(u_{n+1}-u_n\) ou en comparant \(f(x)\) et \(x\) sur l’intervalle.
3. Conclure : monotone + bornée \(\Rightarrow\) convergente.
4. Si \(u_n \to \ell\), alors en passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\) (avec continuité) : \[ \ell = f(\ell) \] Donc \(\ell\) est une solution de l’équation fixe \(x=f(x)\).

✅ Exercices type examen national (avec corrections détaillées)

Objectif : méthodes bac (bornes, monotonie, limite, suites usuelles, récurrence).

Exercice 1 — Bornes, monotonie, convergence

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_n = \frac{n}{n+1} \] 1) Montrer que \((u_n)\) est bornée. 2) Étudier la monotonie de \((u_n)\). 3) Déterminer \(\lim_{n\to +\infty} u_n\).

Correction détaillée

1) Bornes : pour tout \(n\ge 0\), on a \(n \ge 0\) et \(n+1 > 0\), donc \[ u_n=\frac{n}{n+1} \ge 0 \] De plus, comme \(n < n+1\), on obtient \[ \frac{n}{n+1} < 1 \] Ainsi : \[ 0 \le u_n < 1 \] La suite est donc bornée (minorée par \(0\), majorée par \(1\)).

2) Monotonie : on étudie \(u_{n+1}-u_n\). \[ u_{n+1}=\frac{n+1}{n+2} \] Donc \[ u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} \] On met au même dénominateur \((n+2)(n+1)\) : \[ u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)^2 – n(n+2)}{(n+2)(n+1)} \] On développe le numérateur : \[ (n+1)^2 = n^2+2n+1,\quad n(n+2)=n^2+2n \] Donc \[ (n+1)^2 – n(n+2)=1 \] Ainsi \[ u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0 \] La suite est strictement croissante.

3) Limite : on écrit \[ u_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \] Or \(\frac{1}{n+1}\to 0\). Donc \[ u_n \to 1 \]

Exercice 2 — Suite géométrique et limite

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=0.8\,u_n\). 1) Montrer que \((u_n)\) est une suite géométrique et donner \(u_n\). 2) Calculer \(\lim_{n\to +\infty} u_n\). 3) Calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\).

Correction détaillée

1) Nature et terme général : on a \(u_{n+1}=0.8u_n\). C’est la définition d’une suite géométrique de raison \(q=0.8\). Donc \[ u_n=u_0 q^n = 5(0.8)^n \]

2) Limite : comme \(|q|=|0.8|<1\), on sait que \(q^n \to 0\). Donc \[ u_n=5(0.8)^n \to 0 \]

3) Somme \(S_n\) : pour \(q\ne 1\), \[ S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \] Ici \(u_0=5\), \(q=0.8\), donc \[ S_n=5\frac{1-(0.8)^{n+1}}{1-0.8}=5\frac{1-(0.8)^{n+1}}{0.2} \] Comme \(\frac{5}{0.2}=25\), on obtient \[ S_n=25\left(1-(0.8)^{n+1}\right) \]

Exercice 3 — Suite récurrente (méthode bac)

On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0=0\) et \[ u_{n+1}=\frac{u_n+2}{3} \] 1) Montrer par récurrence que \(0 \le u_n \le 1\). 2) Étudier la monotonie de \((u_n)\). 3) En déduire la convergence de \((u_n)\) et calculer sa limite.

Correction détaillée

1) Encadrement par récurrence
Initialisation : \(u_0=0\), donc \(0 \le u_0 \le 1\).
Hérédité : supposons \(0 \le u_n \le 1\). Alors \(u_n+2\) vérifie \(2 \le u_n+2 \le 3\). En divisant par \(3\) (positif), on obtient : \[ \frac{2}{3} \le \frac{u_n+2}{3} \le 1 \] Donc \[ 0 \le u_{n+1} \le 1 \] La propriété est vraie pour tout \(n\) : la suite est bornée dans \([0,1]\).

2) Monotonie : calculons \[ u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+2}{3}-u_n \] Mettons au même dénominateur : \[ u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+2-3u_n}{3}=\frac{2-2u_n}{3}=\frac{2(1-u_n)}{3} \] Or d’après (1), \(u_n \le 1\), donc \(1-u_n \ge 0\). Ainsi : \[ u_{n+1}-u_n \ge 0 \] La suite est croissante.

3) Convergence et limite : la suite est croissante et bornée, donc elle est convergente. Soit \(\ell=\lim u_n\). En passant à la limite dans \[ u_{n+1}=\frac{u_n+2}{3} \] on obtient (continuité des opérations) : \[ \ell=\frac{\ell+2}{3} \] Donc \(3\ell=\ell+2\), alors \(2\ell=2\) et finalement \[ \ell=1 \]

✅ Bilan

Pour réussir les exercices de limites de suites au bac : identifier la forme (arithmétique, géométrique, usuelle, récurrente), encadrer, étudier la monotonie, appliquer monotone + bornée, puis déterminer la limite.