Les Nombres Complexes
I- Introduction aux nombres complexes
1-1/ Définitions
Dans l’ensemble des nombres réels, l’équation \( x^2 + 1 = 0 \) n’admet aucune solution, car pour tout réel \( x \), on a \( x^2 \ge 0 \).
Pour résoudre ce type d’équations, on introduit un nouveau nombre noté \( i \) tel que :
\( i^2 = -1 \)
Un nombre complexe est alors un nombre de la forme :
\( z = a + bi \)
où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels.
- \( a \) est appelé partie réelle
- \( b \) est appelé partie imaginaire
\( Re(z) = a \) \( Im(z) = b \)
L’ensemble des nombres complexes est noté \( \mathbb{C} \).
1-2/ Vocabulaire
- Si \( b = 0 \) alors \( z \) est un nombre réel.
- Si \( a = 0 \) alors \( z \) est un imaginaire pur.
- Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales.
\( a + bi = a’ + b’i \Rightarrow a = a’ \text{ et } b = b’ \)
II- Présentation géométrique d’un nombre complexe
2-1/ Introduction
À tout nombre complexe \( z = a + bi \), on associe le point \( M(a,b) \) du plan muni d’un repère orthonormé.
Ce plan est appelé plan complexe ou plan d’Argand.
2-2/ Propriétés des affixes
Le nombre complexe associé au point \( M \) est appelé affixe du point.
- Le vecteur \( \overrightarrow{OM} \) a pour affixe \( z \).
- L’addition complexe correspond à l’addition vectorielle.
III- Conjugué d’un nombre complexe
3-1/ Définition
Soit \( z = a + bi \). Le conjugué de \( z \), noté \( \overline{z} \), est :
\( \overline{z} = a – bi \)
3-2/ Propriétés
- \( z + \overline{z} = 2a \)
- \( z \times \overline{z} = a^2 + b^2 \)
- \( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \)
- \( \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2} \)
IV- Module d’un nombre complexe
4-1/ Définition
Le module de \( z = a + bi \) est :
\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Il correspond à la distance \( OM \) dans le plan.
4-2/ Propriétés 1
- \( |z| \ge 0 \)
- \( |z| = 0 \iff z = 0 \)
- \( |z_1 z_2| = |z_1| \times |z_2| \)
4-3/ Propriétés 2
- \( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \)
- \( |\overline{z}| = |z| \)
V- Argument d’un nombre complexe non nul
5-1/ Définition
Soit \( z \neq 0 \). L’argument de \( z \) est l’angle \( \theta \) entre l’axe des abscisses et le vecteur \( \overrightarrow{OM} \).
\( arg(z) = \theta \)
5-2/ Propriétés
- \( arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2) \)
- \( arg\left( \frac{z_1}{z_2} \right) = arg(z_1) – arg(z_2) \)
VI- Écriture trigonométrique d’un nombre complexe non nul
6-1/ Définition
Tout nombre complexe non nul s’écrit :
\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)
où \( r = |z| \) et \( \theta = arg(z) \).
6-2/ Propriétés
- \( z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)) \)
- \( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \)
VII- Opérations sur les formes trigonométriques
- Multiplication : on multiplie les modules et on additionne les arguments.
- Division : on divise les modules et on soustrait les arguments.
- Puissance : \( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \)
Exercices type examen national corrigés
Exercice 1
Soit \( z = 3 + 4i \)
1) Calculer le module.
\( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
\( |z| = \sqrt{9 + 16} \)
\( |z| = \sqrt{25} = 5 \)
2) Déterminer le conjugué.
\( \overline{z} = 3 – 4i \)
Exercice 2
Soit \( z_1 = 2(\cos 30 + i\sin 30) \)
Calculer \( z_1^2 \)
\( z_1^2 = 2^2 (\cos(2 \times 30) + i\sin(2 \times 30)) \)
\( z_1^2 = 4(\cos 60 + i\sin 60) \)
Or :
\( \cos 60 = \frac{1}{2} \)
\( \sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Donc :
\( z_1^2 = 4 \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
\( z_1^2 = 2 + 2\sqrt{3}i \)
