Fonctions exponentielles
I- La fonction exponentielle népérienne \( f(x)=e^x \)
1-1 / Définition
La fonction exponentielle népérienne est la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par :
\[ f(x)=e^x \]
Le nombre \( e \) est un réel strictement positif, irrationnel, tel que :
\[ e \approx 2,718 \]
La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur \( \mathbb{R} \) vérifiant :
\[ f'(x)=f(x) \quad \text{et} \quad f(0)=1 \]
Autrement dit, la dérivée de \( e^x \) est égale à elle-même.
1-2 / Conséquences
- \( e^0 = 1 \)
- \( e^x > 0 \) pour tout réel \( x \)
- La fonction est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
- La courbe passe par le point \( (0,1) \)
1-3 / Propriétés
- \( e^{x+y} = e^x \times e^y \)
- \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \)
- \( (e^x)^n = e^{nx} \)
II- Propriétés algébriques
Pour tous réels \( x \) et \( y \) :
\[ e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} \]
\[ \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \]
Ces propriétés permettent de simplifier des expressions exponentielles.
III- Limites
\[ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \]
\[ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \]
La droite d’équation \( y=0 \) est une asymptote horizontale lorsque \( x \to -\infty \).
IV- Dérivée des fonctions \( f(x)=e^x \) et \( f(x)=e^{u(x)} \)
4-1 / Théorème 1
La fonction \( f(x)=e^x \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \) et :
\[ f'(x)=e^x \]
4-2 / Théorème 2
Si \( u \) est une fonction dérivable sur \( \mathbb{R} \), alors :
\[ \frac{d}{dx}(e^{u(x)}) = u'(x)e^{u(x)} \]
V- Étude de la fonction \( f(x)=e^x \)
Domaine : \( \mathbb{R} \)
Dérivée : \( f'(x)=e^x > 0 \)
Donc la fonction est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
Tableau de variation :
\[ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & +\infty \end{array} \]
VI- Fonction exponentielle de base \( a \) avec \( a \in ]0,1[ \cup ]1,+\infty[ \)
6-1 / Définition
Pour tout réel \( a>0 \), \( a \neq 1 \), la fonction exponentielle de base \( a \) est définie par :
\[ f(x)=a^x \]
6-2 / Remarques
- Si \( a>1 \), la fonction est croissante.
- Si \( 0
- \( a^0=1 \)
6-3 / Conséquences
\[ a^{x+y}=a^x a^y \]
\[ a^{-x}=\frac{1}{a^x} \]
6-4 / Propriétés
Si \( a>1 \) :
\[ \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty \]
\[ \lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \]
6-5 / Courbe représentative
La courbe passe par \( (0,1) \).
Elle admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale.
Exercices type examen national corrigés
Exercice 1
Calculer :
\[ A=\frac{e^{2x}e^{3x}}{e^{4x}} \]
Solution détaillée
On applique les propriétés :
\[ e^{2x}e^{3x}=e^{5x} \]
Donc :
\[ A=\frac{e^{5x}}{e^{4x}}=e^{5x-4x}=e^x \]
Exercice 2
Étudier les variations de :
\[ f(x)=e^{2x} \]
Solution détaillée
On dérive :
\[ f'(x)=2e^{2x} \]
Or \( e^{2x}>0 \), donc \( f'(x)>0 \).
La fonction est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
Exercice 3
Calculer :
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{3x} \]
Solution détaillée
Lorsque \( x \to -\infty \), alors \( 3x \to -\infty \).
Donc :
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{3x}=0 \]
Version pédagogique enrichie (explications progressives)
La fonction exponentielle modélise des phénomènes de croissance continue : croissance démographique, intérêts composés, radioactivité.
Lorsque \( x \) augmente, la quantité \( e^x \) augmente de plus en plus rapidement.
Graphiquement :
- La courbe ne coupe jamais l’axe des abscisses.
- Elle s’approche de 0 lorsque \( x \to -\infty \).
- Elle passe par (0,1).
Interprétation de la dérivée :
Le fait que \( f'(x)=f(x) \) signifie que le taux de variation est proportionnel à la valeur de la fonction.
Cela explique pourquoi la croissance devient de plus en plus rapide.
