LES NOMBRES COMPLEXES
I- Écriture exponentielle d’un nombre complexe non nul
1-1/ Définition
Soit un nombre complexe non nul \( z \). On peut l’écrire sous la forme algébrique :
\( z = x + iy \) avec \( x, y \in \mathbb{R} \)
On associe au nombre complexe \( z \) un point \( M(x,y) \) dans le plan complexe.
On définit :
* Le module de \( z \) :
\( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
* Un argument de \( z \), noté \( \theta \), tel que :
\( \cos \theta = \frac{x}{|z|} \quad ; \quad \sin \theta = \frac{y}{|z|} \)
On obtient alors la forme trigonométrique :
\( z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \)
La forme exponentielle d’un nombre complexe non nul est définie par :
\( z = |z| e^{i\theta} \)
où \( |z| \) est le module et \( \theta \) un argument de \( z \).
1-2/ Formules d’EULER
Les formules fondamentales d’Euler sont :
\( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)
\( e^{-i\theta} = \cos \theta – i \sin \theta \)
En additionnant :
\( \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \)
En soustrayant :
\( \sin \theta = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i} \)
Ces formules permettent de transformer des expressions trigonométriques en expressions exponentielles.
1-3/ Application : La linéarisation
La linéarisation consiste à transformer un produit trigonométrique en somme.
Exemple :
\( \cos a \cos b \)
On écrit :
\( \cos a = \frac{e^{ia} + e^{-ia}}{2} \)
\( \cos b = \frac{e^{ib} + e^{-ib}}{2} \)
On multiplie puis on simplifie.
\( \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a+b) + \cos(a-b)] \)
Exercice corrigé 1
Mettre sous forme exponentielle : \( z = -1 + i\sqrt{3} \)
Solution détaillée :
1) Calcul du module :
\( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 \)
2) Détermination de l’argument :
\( \cos \theta = \frac{-1}{2} \)
\( \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
On reconnaît \( \theta = \frac{2\pi}{3} \)
Donc :
\( z = 2 e^{i\frac{2\pi}{3}} \)
II- Équation du deuxième degré
2-1/ Équation de la forme \( z^2 = a \)
On cherche les solutions de :
\( z^2 = a \)
Si \( a > 0 \) :
\( z = \pm \sqrt{a} \)
Si \( a < 0 \) :
\( z = \pm i\sqrt{-a} \)
2-2/ Équation \( az^2 + bz + c = 0 \)
On calcule le discriminant :
\( \Delta = b^2 – 4ac \)
Les solutions sont :
\( z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Si \( \Delta < 0 \), alors :
\( \sqrt{\Delta} = i\sqrt{-\Delta} \)
Exercice type examen national
Résoudre dans \( \mathbb{C} \) :
\( z^2 – 4z + 13 = 0 \)
Solution détaillée :
\( \Delta = (-4)^2 – 4 \times 1 \times 13 = 16 – 52 = -36 \)
\( \sqrt{\Delta} = 6i \)
\( z = \frac{4 \pm 6i}{2} \)
\( z = 2 \pm 3i \)
III- Écriture complexe des transformations
3-1/ Translation
Une translation de vecteur d’affixe \( a \) s’écrit :
\( z’ = z + a \)
3-2/ Homothétie
Une homothétie de centre O et de rapport \( k \) :
\( z’ = kz \)
3-3/ Rotation
Une rotation de centre O et d’angle \( \theta \) :
\( z’ = e^{i\theta} z \)
IV- Géométrie plane et nombres complexes
Distance :
\( AB = |z_B – z_A| \)
Alignement :
\( \frac{z_C – z_A}{z_B – z_A} \in \mathbb{R} \)
Orthogonalité :
\( \frac{z_C – z_A}{z_B – z_A} \in i\mathbb{R} \)
Exercice final type Bac (Correction complète)
On considère les points A(1+i), B(3-i).
1) Calculer AB
\( AB = |(3-i)-(1+i)| = |2-2i| \)
\( AB = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2} \)
2) Déterminer l’image de A par rotation d’angle \( \frac{\pi}{2} \)
\( z’ = i(1+i) = i -1 \)
\( z’ = -1 + i \)
