GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE 2 : PRODUIT VECTORIEL
I- Orientation de l’espace – trièdre – base et repère orientés
1-1/ Trièdre
Dans l’espace, trois vecteurs non coplanaires issus d’un même point forment un trièdre.
Soient trois vecteurs \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \).
- S’ils ne sont pas dans un même plan → ils forment un trièdre.
- Ils définissent alors une orientation de l’espace.
Un trièdre peut être :
- Direct
- Indirect
Cette notion d’orientation est fondamentale pour définir le produit vectoriel.
1-2/ Bonhomme d’Ampère
Le bonhomme d’Ampère permet de déterminer le sens d’un trièdre direct.
Principe :
- On place l’index dans la direction de \( \vec{u} \).
- On place le majeur dans la direction de \( \vec{v} \).
- Le pouce indique la direction de \( \vec{u} \wedge \vec{v} \).
Cette règle correspond à la règle de la main droite.
1-3/ Base et repère orientés
Une base \( (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) est dite directe si le trièdre formé est direct.
Dans une base orthonormée directe : \[ \vec{i} \wedge \vec{j} = \vec{k} \] \[ \vec{j} \wedge \vec{k} = \vec{i} \] \[ \vec{k} \wedge \vec{i} = \vec{j} \]
Cette convention est essentielle pour tous les calculs futurs.
II- Produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace orienté
2-1/ Définition géométrique
Soient deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \).
Le produit vectoriel \( \vec{u} \wedge \vec{v} \) est le vecteur :
- Orthogonal à \( \vec{u} \) et à \( \vec{v} \)
- De norme égale à l’aire du parallélogramme construit sur \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \)
- Dont le sens est donné par la règle de la main droite
\[ \|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\theta) \]
où \( \theta \) est l’angle entre \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \).
Interprétation pédagogique :
- Si \( \theta = 0 \) → vecteurs colinéaires → produit nul.
- Si \( \theta = 90^\circ \) → produit maximal.
2-2/ Interprétation de la norme
La norme représente l’aire du parallélogramme : \[ \text{Aire} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\theta) \]
Donc le produit vectoriel mesure une surface.
2-3/ Propriétés fondamentales
Anti-symétrie : \[ \vec{u} \wedge \vec{v} = – (\vec{v} \wedge \vec{u}) \]
Linéarité : \[ (\vec{u} + \vec{v}) \wedge \vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{w} + \vec{v} \wedge \vec{w} \] \[ (\lambda \vec{u}) \wedge \vec{v} = \lambda (\vec{u} \wedge \vec{v}) \]
III- Coordonnées dans une base orthonormée directe
Soient : \[ \vec{u}(x_1,y_1,z_1) \quad \vec{v}(x_2,y_2,z_2) \] \[ \vec{u} \wedge \vec{v} = (y_1 z_2 – z_1 y_2)\vec{i} – (x_1 z_2 – z_1 x_2)\vec{j} + (x_1 y_2 – y_1 x_2)\vec{k} \]
Cette formule est indispensable pour les calculs algébriques.
IV- Distance d’un point à une droite
Soit un point \( A \) et une droite définie par un point \( B \) et un vecteur directeur \( \vec{u} \). \[ d(A,\Delta) = \frac{\|\vec{AB} \wedge \vec{u}\|} {\|\vec{u}\|} \]
Cette formule repose directement sur l’interprétation géométrique du produit vectoriel.
V- Règles du produit vectoriel
- \( \vec{i} \wedge \vec{i} = \vec{0} \)
- \( \vec{u} \wedge \vec{v} = – \vec{v} \wedge \vec{u} \)
- Distributivité
- Homogénéité
- Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires → produit nul
VI- Exercices corrigés type examen national
Exercice 1
On donne \( \vec{u}(1,2,3) \) et \( \vec{v}(2,-1,4) \). Calculer \( \vec{u} \wedge \vec{v} \).
Solution détaillée : \[ \vec{u} \wedge \vec{v} = (2×4 – 3×(-1))\vec{i} – (1×4 – 3×2)\vec{j} + (1×(-1) – 2×2)\vec{k} \] \[ = (8 + 3)\vec{i} – (4 – 6)\vec{j} + (-1 – 4)\vec{k} \] \[ = 11\vec{i} + 2\vec{j} -5\vec{k} \]
Exercice 2 (Type Bac)
Montrer que trois points A, B, C sont alignés.
Méthode :
- Calculer \( \vec{AB} \)
- Calculer \( \vec{AC} \)
- Si \( \vec{AB} \wedge \vec{AC} = \vec{0} \) → alignement
Exercice 3
Calculer l’aire du triangle ABC. \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\| \]
Exercice 4
Déterminer la distance d’un point à une droite donnée.
Exercice 5
Montrer que deux vecteurs sont orthogonaux en utilisant le produit vectoriel.
Exercice 6 (Examen national complet)
Dans un repère orthonormé direct, on considère : \[ A(1,0,0) \quad B(0,1,0) \quad C(0,0,1) \]
1) Calculer \( \vec{AB} \wedge \vec{AC} \) 2) En déduire l’aire du triangle ABC 3) Déterminer une équation du plan (ABC)
Les calculs suivent exactement les méthodes détaillées précédemment.
