CALCUL INTÉGRAL
I- Intégrale d’une fonction continue sur un segment [a,b]
Soit \( f \) une fonction continue sur un segment fermé \( [a,b] \).
L’intégrale de \( f \) entre \( a \) et \( b \), notée :
\( \int_a^b f(x)\,dx \)
représente la limite des sommes des aires des rectangles construits sous la courbe de \( f \).
Interprétation géométrique
Si \( f(x) \ge 0 \) sur \( [a,b] \), alors :
\( \int_a^b f(x)\,dx \)
représente l’aire du domaine limité par :
- la courbe représentative de \( f \)
- l’axe des abscisses
- les droites \( x=a \) et \( x=b \)
Si \( f(x) \le 0 \), l’intégrale est négative.
Primitive
Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors :
\( \int_a^b f(x)\,dx = F(b) – F(a) \)
Exercice d’application 1 (Corrigé détaillé)
Calculer :
\( \int_0^2 (3x^2 + 2x +1)\,dx \)
Solution détaillée :
On cherche une primitive :
Primitive de \( 3x^2 \) : \( x^3 \)
Primitive de \( 2x \) : \( x^2 \)
Primitive de \( 1 \) : \( x \)
Donc une primitive est :
\( F(x) = x^3 + x^2 + x \)
Application de la formule :
\( F(2) – F(0) \)
\( = (8 + 4 + 2) – 0 \)
\( = 14 \)
II- Propriétés : Relation de Chasles – Linéarité – Ordre
2-1/ Propriété fondamentale
Si \( f \) est continue sur \( [a,b] \), alors l’intégrale existe et est unique.
2-2/ Relation de Chasles
Pour tout \( c \in [a,b] \) :
\( \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \)
Cette propriété permet de découper un intervalle en plusieurs parties.
2-3/ Linéarité
Pour deux fonctions continues \( f \) et \( g \) :
\( \int_a^b (f(x)+g(x))dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx \)
\( \int_a^b kf(x)dx = k \int_a^b f(x)dx \)
Exercice type examen national
Calculer :
\( \int_1^3 (2x + 5)dx \)
Solution détaillée :
Primitive de \( 2x \) : \( x^2 \)
Primitive de \( 5 \) : \( 5x \)
Donc :
\( F(x) = x^2 + 5x \)
\( F(3) – F(1) \)
\( = (9 +15) – (1 +5) \)
\( = 24 -6 =18 \)
III- Valeur moyenne
La valeur moyenne de \( f \) sur \( [a,b] \) est définie par :
\( m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx \)
Interprétation : c’est la hauteur d’un rectangle ayant la même aire que le domaine sous la courbe.
IV- Intégration par parties
Si \( u \) et \( v \) sont dérivables :
\( \int_a^b u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u(x)v'(x)dx \)
Exercice corrigé détaillé
Calculer :
\( \int_0^1 x e^x dx \)
Solution :
On pose :
\( u = x \) donc \( u’ = 1 \)
\( v’ = e^x \) donc \( v = e^x \)
Application :
\( [x e^x]_0^1 – \int_0^1 1 \cdot e^x dx \)
\( = (e – 0) – (e -1) \)
\( = 1 \)
V- Applications sur les intégrales
5-1/ Calcul des surfaces
Si \( f(x) \ge 0 \) :
Aire = \( \int_a^b f(x)dx \)
Exercice surface
Calculer l’aire sous \( f(x)=x^2 \) entre 0 et 2.
Primitive : \( \frac{x^3}{3} \)
\( \frac{8}{3} \)
5-2/ Calcul des volumes
Volume par rotation autour de l’axe des abscisses :
\( V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx \)
Exercice type Bac (corrigé complet)
Calculer le volume engendré par la rotation de \( f(x)=x \) sur [0,2].
On calcule :
\( V = \pi \int_0^2 x^2 dx \)
Primitive : \( \frac{x^3}{3} \)
\( V = \pi \frac{8}{3} \)
