I- Continuité et continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point x0

1-1/ Continuité d’une fonction en un point x0

Définition (continuité en \(x_0\))

Une fonction \(f\) est continue en \(x_0\) si : \[ \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0). \] Cela signifie que quand \(x\) se rapproche de \(x_0\), les valeurs \(f(x)\) se rapprochent de la valeur exacte \(f(x_0)\).

Lecture intuitive (pédagogique)

On peut comprendre la continuité comme l’absence de “saut” au voisinage de \(x_0\).

1. On regarde comment \(f(x)\) se comporte quand \(x\) s’approche de \(x_0\).
2. On vérifie si cette tendance (la limite) existe.
3. On compare cette limite à la valeur réelle \(f(x_0)\).

Si la limite existe et elle est égale à \(f(x_0)\), alors la fonction est continue en \(x_0\).

Méthode pratique pour tester la continuité en \(x_0\)

1. Étape 1 : vérifier que \(f(x_0)\) est définie (sinon, pas de continuité en \(x_0\)).
2. Étape 2 : calculer \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) (et vérifier qu’elle existe).
3. Étape 3 : comparer : si \(\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\) alors continuité, sinon discontinuité.

Exemple progressif (avec justification)

Soit \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x\neq 1\) et on définit \(f(1)=2\).

1. On a bien \(f(1)=2\) (valeur définie).
2. Pour \(x\neq 1\), \(\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\).
3. Donc \(\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1}(x+1)=2\).
4. Comparaison : \(\lim_{x\to 1} f(x)=2=f(1)\) donc \(f\) est continue en \(1\).

Interprétation : la courbe est celle de la droite \(y=x+1\) avec un “trou” en \(x=1\), mais comme on a placé le point \((1,2)\), le trou est “comblé”. x y (1,2)

1-2/ Continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point x0 Limites unilatérales

Définitions (à gauche et à droite)

• \(f\) est continue à gauche en \(x_0\) si \(\lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0)\).
• \(f\) est continue à droite en \(x_0\) si \(\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\).

Et \(f\) est continue en \(x_0\) si les deux limites existent et sont égales : \[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0). \]

Interprétation graphique

Approcher \(x_0\) “par la gauche” signifie venir avec des valeurs \(xx_0\). Si la courbe arrive au même niveau des deux côtés et que le point \(f(x_0)\) est placé exactement à ce niveau, alors on a continuité. x0 lim gauche lim droite

Ici, les deux limites unilatérales ne coïncident pas : il y a un “saut”, donc pas de continuité en \(x_0\).

II- Continuité sur un intervalle

Définition

Une fonction \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) si elle est continue en tout point de \(I\).

Cas des bornes d’un intervalle

• Sur \([a,b]\) : on demande la continuité sur \((a,b)\), la continuité à droite en \(a\) et la continuité à gauche en \(b\).
• Sur \((a,b]\) : continuité sur \((a,b)\) + continuité à gauche en \(b\).
• Sur \([a,b)\) : continuité sur \((a,b)\) + continuité à droite en \(a\).

Conseil d’analyse (très utilisé au bac)

Pour étudier la continuité sur \(I\), on repère d’abord les points “suspects” : valeurs interdites (dénominateur nul), radicande négatif pour une racine, changements de définition (fonction par morceaux), etc. Ensuite on vérifie la continuité aux points critiques, et la continuité sur les sous-intervalles où la formule est “stable”.

III- Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle I⊂R

Propriétés fondamentales

Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I\), alors :

• \(f+g\) est continue sur \(I\).
• \(f-g\) est continue sur \(I\).
• \(f\times g\) est continue sur \(I\).
• Si \(g(x)\neq 0\) pour tout \(x\in I\), alors \(\frac{f}{g}\) est continue sur \(I\).

Pourquoi ces règles sont importantes ?

Elles permettent d’éviter de “redémontrer” la continuité à chaque fois : dès qu’une fonction est construite par addition, produit, quotient (avec condition), on déduit sa continuité. C’est une stratégie rapide et solide en exercice.

Exemple guidé

Étudier la continuité sur \(\mathbb{R}\) de \(h(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2}\).

1. Le numérateur \(x^2+1\) est un polynôme donc continu sur \(\mathbb{R}\).
2. Le dénominateur \(x^2+2\) est aussi un polynôme donc continu sur \(\mathbb{R}\).
3. On vérifie la condition : \(x^2+2>0\) pour tout réel \(x\), donc jamais nul.
4. Donc \(\frac{x^2+1}{x^2+2}\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

IV- Continuité des fonctions usuelles

Liste pratique (à mémoriser)

• Les polynômes : continus sur \(\mathbb{R}\).
• Les fonctions rationnelles : continues sur leur domaine de définition (là où le dénominateur n’est pas nul).
• La fonction racine \(\sqrt{x}\) : continue sur \([0,+\infty[\).
• Les fonctions trigonométriques usuelles (sinus, cosinus) : continues sur \(\mathbb{R}\).

Réflexe bac

Avant de calculer une limite compliquée, demande-toi : “La fonction est-elle une composition/combinaison de fonctions continues ?” Souvent, la limite devient juste “remplacer \(x\) par \(x_0\)” quand c’est continu.

V- Image d’un intervalle par une fonction continue

Idée essentielle

Quand une fonction est continue sur un intervalle, elle “ne saute pas” : en parcourant l’intervalle, elle prend des valeurs de façon progressive. Cela prépare directement le Théorème des valeurs intermédiaires (TVI).

Lecture graphique

Si tu traces la courbe de \(f\) sur \([a,b]\), alors l’image \(f([a,b])\) correspond à toutes les hauteurs (valeurs de \(y\)) atteintes quand \(x\) va de \(a\) à \(b\). Pour une courbe continue, l’ensemble des valeurs est “sans trous”.

VI- Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

Résultat très utilisé

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a,b]\), alors \(f\) prend toutes les valeurs entre \(f(a)\) et \(f(b)\), et l’image \(f([a,b])\) est un intervalle.

Pourquoi la monotonie aide ?

La monotonie empêche les “retours en arrière” : la fonction avance toujours dans un seul sens. Donc chaque valeur dans l’intervalle image est atteinte une seule fois (ce sera crucial pour la fonction réciproque).

VII- Continuité de la composée de deux fonctions continues

Propriété (composition)

Si \(f\) est continue en \(x_0\) et \(g\) est continue en \(f(x_0)\), alors la fonction composée \(g\circ f\) est continue en \(x_0\).

Autrement dit : continuité “à l’entrée” + continuité “à la sortie” \(\Rightarrow\) continuité globale.

Exemple expliqué pas à pas

Soit \(f(x)=x^2\) (continue sur \(\mathbb{R}\)) et \(g(u)=\sqrt{u}\) (continue sur \([0,+\infty[\)).

1. Pour tout \(x\), \(f(x)=x^2\ge 0\). Donc \(f(x)\) appartient bien au domaine de \(g\).
2. La composée \(g\circ f\) vaut \(g(f(x))=\sqrt{x^2}\).
3. Comme \(f\) est continue et \(g\) est continue sur les valeurs prises par \(f\), alors \(g\circ f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

VIII – Théorème des valeurs intermédiaires

8-1/ Propriété (Théorème des valeurs intermédiaires) TVI

Énoncé

Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors pour tout nombre \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\in[a,b]\) tel que : \[ f(c)=k. \]

Interprétation graphique

Imagine une ligne horizontale \(y=k\). Si la courbe de \(f\) est continue entre \(x=a\) et \(x=b\) et qu’elle passe d’un côté à l’autre de cette hauteur, alors elle doit forcément couper la ligne \(y=k\) au moins une fois. y = k f(c)=k

8-2/ Conséquences Applications

Conséquence 1 : existence d’une solution \(f(x)=0\)

Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, alors il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=0\).

C’est une méthode standard pour prouver l’existence d’une racine.

Conséquence 2 : encadrement d’une solution

Une fois qu’on sait qu’une solution existe, on peut la localiser en resserrant l’intervalle (par exemple en testant au milieu). Cette idée est très fréquente dans les exercices.

IX – Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I

9-1/ Théorème Réciproque

Théorème

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est bijective de \(I\) vers \(J=f(I)\) et elle admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J\).

9-2/ Relation entre f et sa réciproque f−1

Relations essentielles

Pour tout \(x\in I\) et tout \(y\in J\) :

• \(f^{-1}(f(x))=x\).
• \(f(f^{-1}(y))=y\).

Interprétation : \(f\) et \(f^{-1}\) “se défont” l’une l’autre.

9-3/ Propriétés de la fonction réciproque f−1

Propriétés

• La courbe de \(f^{-1}\) est la symétrique de la courbe de \(f\) par rapport à la droite \(y=x\).
• Si \(f\) est strictement croissante, alors \(f^{-1}\) est strictement croissante.
• Si \(f\) est strictement décroissante, alors \(f^{-1}\) est strictement décroissante.
• La fonction \(f^{-1}\) est continue sur \(J\).

Justification intuitive de la continuité de \(f^{-1}\)

Une fonction continue et strictement monotone “avance sans saut” et “sans retour”. Donc, quand la sortie \(y=f(x)\) varie un peu, l’entrée \(x\) varie aussi de façon progressive : c’est l’idée profonde derrière la continuité de la réciproque.

X- La fonction racine d’ordre n (ou racine nième)

10-1/ Définition et théorème Racine n-ième

Définition

Pour un entier \(n\ge 2\) :

• Si \(n\) est pair : \(\sqrt[n]{x}\) est définie pour \(x\ge 0\) et c’est l’unique réel positif dont la puissance \(n\) vaut \(x\).
• Si \(n\) est impair : \(\sqrt[n]{x}\) est définie pour tout réel \(x\).

Théorème (continuité)

La fonction \(x\mapsto \sqrt[n]{x}\) est continue sur son domaine de définition.

10-2/ Cas particuliers

Cas \(n=2\)

\(\sqrt{x}\) est définie pour \(x\ge 0\), continue sur \([0,+\infty[\) et croissante.

Cas \(n=3\)

\(\sqrt[3]{x}\) est définie sur \(\mathbb{R}\), continue sur \(\mathbb{R}\) et strictement croissante.

10-3/ Propriétés

Propriétés algébriques (quand elles ont un sens)

• \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) (avec conditions de signe si \(n\) est pair).
• \(\sqrt[n]{a^n}=a\) si \(n\) est impair ; et \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\) si \(n\) est pair.
• \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a\) sur le domaine autorisé.

10-4/ Limites de la fonction g(x)=n√f(x)

Méthode de limites (idée de continuité)

Si \(f(x)\to L\) et si \(\sqrt[n]{\cdot}\) est définie en \(L\), alors : \[ \sqrt[n]{f(x)} \to \sqrt[n]{L}. \] C’est une application directe de la continuité de la racine n-ième sur son domaine.

XI – Puissance rationnelle d’un nombre réel positif

11-1/ Définition Exposant rationnel

Définition

Pour \(a>0\), et pour des entiers \(p\) et \(q\ge 1\), on définit : \[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. \] On insiste sur \(a>0\) afin que \(\sqrt[q]{a^p}\) soit bien définie (et unique dans le cadre réel standard).

11-2/ Propriétés

Propriétés usuelles (pour \(a>0\), \(b>0\))

• \(a^{r}a^{s}=a^{r+s}\).
• \(\frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}\).
• \((a^{r})^{s}=a^{rs}\).
• \((ab)^{r}=a^{r}b^{r}\).

Ces règles sont cohérentes avec la définition \(a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}\) et prolongent les règles connues sur les puissances entières.

✅ Exercices type examen national — corrigés très détaillés

Exercices originaux (style bac) : continuité, TVI, fonctions par morceaux, composée, racine n-ième et puissance rationnelle.

Exercice 1 — Continuité en un point (fonction définie par morceaux)

Soit \(f\) définie par : \[ f(x)= \begin{cases} x^2+1 & \text{si } x<1,\\ ax+b & \text{si } x\ge 1. \end{cases} \] Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).

Correction détaillée

1. Comprendre où peut être le problème
   La fonction change de formule en \(x=1\). La continuité se joue donc au point \(1\).
2. Calculer la limite à gauche en 1
   Pour \(x<1\), \(f(x)=x^2+1\). Donc : \[ \lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x^2+1)=1^2+1=2. \]
3. Calculer la limite à droite en 1
   Pour \(x\ge 1\), \(f(x)=ax+b\). Donc : \[ \lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+}(ax+b)=a\cdot 1+b=a+b. \]
4. Écrire la condition de continuité
   Pour que \(f\) soit continue en \(1\), il faut : \[ \lim_{x\to 1^-} f(x)=f(1)=\lim_{x\to 1^+} f(x). \] Or \(f(1)\) se calcule avec la deuxième branche (car \(1\ge 1\)) : \[ f(1)=a\cdot 1+b=a+b. \] Donc la condition devient : \[ 2=a+b. \]
5. Conclusion
   Il y a une infinité de couples \((a,b)\) possibles vérifiant : \[ a+b=2. \] Par exemple : \((a,b)=(2,0)\) ou \((1,1)\) etc.

Exercice 2 — Continuité sur un intervalle et étude d’un quotient

Étudier la continuité de \(g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\) sur son domaine de définition. Peut-on prolonger \(g\) en une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) ?

Correction détaillée

1. Domaine de définition
   On doit avoir \(x-2\neq 0\), donc \(x\neq 2\). Le domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
2. Continuité sur le domaine
   Sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), \(g\) est un quotient de polynômes avec dénominateur non nul, donc \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
3. Comprendre la discontinuité en 2
   Factorisons : \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Pour \(x\neq 2\) : \[ g(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2. \]
4. Limite en 2
   Comme \(g(x)=x+2\) pour \(x\neq 2\), \[ \lim_{x\to 2} g(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4. \]
5. Prolongement continu
   On définit une nouvelle fonction \(G\) par :
   • pour \(x\neq 2\), \(G(x)=g(x)\)
   • et on pose \(G(2)=4\)
   Alors \(\lim_{x\to 2}G(x)=4=G(2)\), donc \(G\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 3 — Théorème des valeurs intermédiaires (existence de solution)

Soit \(h(x)=x^3-3x-1\).
1) Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet au moins une solution dans \([1,2]\).
2) Donner un encadrement d’une solution à \(0{,}1\) près.

Correction détaillée

1. Continuité de \(h\)
   \(h\) est un polynôme, donc \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([1,2]\).
2. Calcul de \(h(1)\) et \(h(2)\)
   \[ h(1)=1-3-1=-3,\qquad h(2)=8-6-1=1. \] On observe que \(h(1)<0\) et \(h(2)>0\).
3. Application du TVI
   Comme \(h\) est continue sur \([1,2]\) et que \(0\) est entre \(h(1)\) et \(h(2)\), alors il existe \(c\in[1,2]\) tel que \(h(c)=0\).
4. Encadrement à \(0{,}1\) près
   On teste des valeurs : \[ h(1{,}6)=1{,}6^3-3\cdot 1{,}6-1. \] \(1{,}6^3=4{,}096\), donc \(h(1{,}6)=4{,}096-4{,}8-1=-1{,}704\) (négatif).
   \[ h(1{,}8)=1{,}8^3-3\cdot 1{,}8-1. \] \(1{,}8^3=5{,}832\), donc \(h(1{,}8)=5{,}832-5{,}4-1=-0{,}568\) (négatif).
   \[ h(1{,}9)=1{,}9^3-3\cdot 1{,}9-1. \] \(1{,}9^3=6{,}859\), donc \(h(1{,}9)=6{,}859-5{,}7-1=0{,}159\) (positif).
   On a donc changement de signe entre \(1{,}8\) et \(1{,}9\), donc une solution \(\alpha\) vérifie : \[ 1{,}8 \le \alpha \le 1{,}9. \] Cela donne un encadrement à \(0{,}1\) près.

Exercice 4 — Continuité d’une composée et racine n-ième

Soit \(p(x)=x^2+2x+5\) et \(F(x)=\sqrt{p(x)}\).
1) Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
2) En déduire que \(F\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Correction détaillée

1. Étudier le signe de \(p(x)\)
   On complète le carré : \[ p(x)=x^2+2x+5=(x+1)^2+4. \] Or \((x+1)^2\ge 0\), donc \((x+1)^2+4\ge 4>0\) pour tout \(x\). Ainsi \(p(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
2. Conclusion sur le domaine
   Comme \(p(x)>0\) pour tout \(x\), \(\sqrt{p(x)}\) est définie pour tout réel \(x\). Donc \(F\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
3. Continuité
   \(p\) est un polynôme donc continue sur \(\mathbb{R}\).
   La fonction racine \(\sqrt{x}\) est continue sur \([0,+\infty[\).
   Comme \(p(x)\ge 4\), on a \(p(x)\in[0,+\infty[\).
   Donc la composée \(F(x)=\sqrt{p(x)}\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 5 — Puissance rationnelle (définition et simplification)

Soit \(a>0\). Simplifier :
a) \(a^{\frac{3}{2}}\times a^{\frac{1}{2}}\)
b) \(\frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}\)
c) \(\left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{5}{2}}\)

Correction détaillée

1. a) Même base, on additionne les exposants : \[ a^{\frac{3}{2}}\times a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}=a^{\frac{4}{2}}=a^2. \]
2. b) Quotient, on soustrait les exposants : \[ \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}=a^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}}=a^{\frac{3}{3}}=a. \]
3. c) Puissance d’une puissance, on multiplie : \[ \left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{5}{2}}=a^{\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}}=a^1=a. \]

Mini-résumé à retenir

\(a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}\) pour \(a>0\).

Continuité en \(x_0\) : \(\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\).

Sur \([a,b]\) : continuité à droite en \(a\) et à gauche en \(b\).

Somme/produit/quotient (si dénominateur non nul) de continues \(\Rightarrow\) continue.

TVI : une fonction continue “prend toutes les valeurs entre \(f(a)\) et \(f(b)\)”.

Continue + strictement monotone \(\Rightarrow\) réciproque existe et est continue.