📘 Cours de Mathématiques – DÉNOMBREMENT
Niveau : Baccalauréat – Tous profils 🎓
I- Ensemble fini – Cardinal d’un ensemble fini
1-1/ Définition
Un ensemble fini est un ensemble qui contient un nombre limité d’éléments.
Le cardinal d’un ensemble fini \(E\) est le nombre d’éléments qu’il contient. On le note :
\[ \text{Card}(E) = n \quad \text{ou} \quad |E| = n \]
Exemple :
Si \(E = \{2,4,6,8\}\), alors :
\[ |E| = 4 \]
1-2/ Propriétés
- \( |A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| \)
- Si \(A \cap B = \emptyset\) alors \( |A \cup B| = |A| + |B| \)
👉 Cette propriété permet d’éviter de compter deux fois les éléments communs.
II- Principe fondamental de dénombrement
2-1/ Activité
Un élève possède 3 chemises et 2 pantalons. Combien de tenues différentes peut-il former ?
Pour chaque chemise, il peut choisir 2 pantalons.
\[ 3 \times 2 = 6 \]
2-2/ Principe général (Principe du produit)
Si une expérience comporte :
- \(n_1\) possibilités pour la première étape
- \(n_2\) possibilités pour la deuxième étape
- …
- \(n_k\) possibilités pour la k-ième étape
Alors le nombre total de possibilités est :
\[ n_1 \times n_2 \times … \times n_k \]
🎯 Ce principe est fondamental en dénombrement.
III- Arrangement avec répétition
3-1/ Activité
Combien de codes à 3 chiffres peut-on former avec les chiffres 0 à 9 ?
Chaque position a 10 choix possibles.
\[ 10 \times 10 \times 10 = 10^3 \]
3-2/ Propriété
Le nombre d’arrangements avec répétition de \(p\) éléments parmi \(n\) est :
\[ n^p \]
IV- Arrangement sans répétition de p éléments parmi n
4-1/ Activité
Combien de numéros de 3 chiffres distincts peut-on former avec 5 chiffres ?
Premier choix : 5 possibilités
Deuxième choix : 4 possibilités
Troisième choix : 3 possibilités
\[ 5 \times 4 \times 3 \]
4-2/ Définition
On appelle arrangement sans répétition de \(p\) éléments parmi \(n\) :
\[ A_n^p = n \times (n-1) \times … \times (n-p+1) \]
4-3/ Propriété
\[ A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} \]
où
\[ n! = 1 \times 2 \times … \times n \]
4-4/ Modèle d’une urne
Une urne contient \(n\) boules distinctes. On tire successivement \(p\) boules sans remise.
Le nombre de tirages possibles est :
\[ A_n^p \]
V- Permutation de n éléments
5-1/ Définition
Une permutation est un arrangement sans répétition de \(n\) éléments parmi \(n\).
\[ P_n = n! \]
5-2/ Propriété
Exemple : nombre d’anagrammes du mot MATH (4 lettres distinctes)
\[ 4! = 24 \]
VI- Combinaison de p éléments parmi n
6-1/ Activité
Combien de groupes de 3 élèves peut-on former parmi 5 ?
L’ordre n’a pas d’importance.
6-2/ Définition
\[ C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!} \]
6-3/ Propriété
- \( C_n^p = C_n^{n-p} \)
- \( C_n^0 = 1 \)
- \( C_n^1 = n \)
VII- Binôme de Newton
\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \]
Exemple :
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
VIII- Exercices type Examen National corrigés
8-1/ Exercice 1
Une classe contient 6 garçons et 4 filles. On choisit 3 élèves. Combien de groupes contiennent exactement 2 garçons ?
Solution :
Choisir 2 garçons parmi 6 :
\[ C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = 15 \]
Choisir 1 fille parmi 4 :
\[ C_4^1 = 4 \]
Nombre total :
\[ 15 \times 4 = 60 \]
8-2/ Exercice 2
Développer \( (x+2)^3 \)
Solution :
\[ (x+2)^3 = C_3^0 x^3 + C_3^1 x^2 2 + C_3^2 x 2^2 + C_3^3 2^3 \]
\[ = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]
8-3/ Exercice 3
Combien de mots de 4 lettres distinctes peut-on former avec 7 lettres ?
\[ A_7^4 = \frac{7!}{3!} \]
\[ = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840 \]
8-4/ Exercice 4
Une urne contient 5 boules rouges et 3 bleues. On tire 2 boules simultanément. Probabilité d’avoir 2 rouges ?
\[ \frac{C_5^2}{C_8^2} \]
\[ = \frac{10}{28} \]
