I- Dérivabilité d’une fonction en un point x0 – Dérivabilité à droite et à gauche en un point x0

1-1/ Dérivabilité

Définition (dérivée en un point)
Soit une fonction \(f\) définie sur un intervalle contenant \(x_0\). On dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) si la limite suivante existe et est finie : \[ f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \] Cette limite (si elle existe) s’appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\).

Lecture pédagogique :
Le quotient \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) compare la variation de la sortie \(f(x)\) à la variation de l’entrée \(x\). C’est un taux de variation (une pente). Quand \(h\) devient très petit, on “zoome” autour de \(x_0\). Si, après ce zoom, la pente se stabilise vers un nombre unique, alors \(f\) est dérivable en \(x_0\).

Attention : dérivable en \(x_0\) \(\Rightarrow\) continue en \(x_0\), mais l’inverse est faux. Une fonction peut être continue sans être dérivable (exemple classique : un “angle” sur la courbe).

Exemple 1 (très guidé) : \(f(x)=x^2\). Montrer que \(f'(x_0)=2x_0\).

Solution détaillée :

1. On applique la définition : \[ f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}. \]
2. On développe \((x_0+h)^2=x_0^2+2x_0h+h^2\). Donc : \[ (x_0+h)^2-x_0^2=2x_0h+h^2. \]
3. On factorise par \(h\) : \[ \frac{2x_0h+h^2}{h}=2x_0+h. \]
4. On passe à la limite quand \(h\to 0\) : \[ f'(x_0)=\lim_{h\to 0}(2x_0+h)=2x_0. \]

Interprétation : la pente de la tangente à la parabole \(y=x^2\) au point d’abscisse \(x_0\) vaut \(2x_0\).

1-2/ Interprétation géométrique des nombres dérivées f'(x0) et f’d(x0) et f’g(x0)

Dérivée à droite et dérivée à gauche
On définit : \[ f’_d(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \quad f’_g(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \] La fonction est dérivable en \(x_0\) si et seulement si les deux limites existent, sont finies, et sont égales : \[ f’_d(x_0)=f’_g(x_0)=f'(x_0). \]

Interprétation graphique (pente de la tangente) :
La dérivée \(f'(x_0)\) est le coefficient directeur (pente) de la tangente à la courbe au point \(A(x_0,f(x_0))\). Quand on approche \(x_0\) par la droite (valeurs plus grandes), on obtient la pente “vue à droite” \(f’_d(x_0)\). Quand on approche par la gauche (valeurs plus petites), on obtient la pente “vue à gauche” \(f’_g(x_0)\). Si les deux pentes ne coïncident pas, la courbe a souvent un point anguleux en \(x_0\).

Schéma (idée de la tangente au voisinage de \(x_0\)) : A x0 tangente pente = f'(x0)

Ce schéma est illustratif : en pratique, on “zoome” sur la courbe autour de \(x_0\) pour voir la tangente apparaître.

Équation de la tangente en \(x_0\)
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), la tangente en \(A(x_0,f(x_0))\) a pour équation : \[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). \]

Pédagogiquement : on part du point \(A\), puis on se déplace horizontalement de \((x-x_0)\), et verticalement de \(f'(x_0)(x-x_0)\) (pente \(\times\) déplacement).

II- Dérivabilité sur un intervalle

Définition
On dit que \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) si \(f\) est dérivable en tout point de \(I\) (et donc si \(f'(x)\) existe pour tout \(x\in I\)).

Pourquoi c’est important ?
Être dérivable sur un intervalle permet d’étudier globalement les variations, les extremums, et le comportement de la courbe. La fonction dérivée \(f’\) devient un “capteur” : son signe indique la montée/descente de \(f\).

III- La fonction dérivée première d’une fonction – la fonction dérivée seconde – dérivée nième d’ une fonction

Fonction dérivée
Si \(f\) est dérivable sur \(I\), on définit une nouvelle fonction \(f’\) sur \(I\) : à chaque \(x\in I\), \(f'(x)\) est le nombre dérivé de \(f\) en \(x\).

Dérivée seconde
Si \(f’\) est dérivable sur \(I\), on note \(f”\) la dérivée de \(f’\) : \[ f”(x)=(f'(x))’. \]

Intuition : \(f”\) mesure la variation de la pente. C’est l’outil clé pour la convexité et la position relative tangente/courbe.

Dérivée nième
Si l’on peut dériver plusieurs fois, on note \(f^{(n)}\) la dérivée d’ordre \(n\). En pratique au lycée, on utilise surtout \(f’\) et \(f”\), et parfois \(f^{(3)}\) pour des justifications.

IV- Les opérations sur les fonctions dérivables

Règles de dérivation (fondamentales)
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables :

• \((u+v)’=u’+v’\)
• \((ku)’=ku’\) pour tout réel \(k\)
• \((uv)’=u’v+uv’\)
• \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}\) si \(v(x)\neq 0\)

Conseil méthode (très important) :
Avant de dériver, identifier la structure : somme, produit, quotient, composée. Ensuite appliquer la règle adaptée, et seulement après simplifier.

V- Dérivabilité des fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et \(f^n(x)\)

Fonctions polynomiales
Un polynôme est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Exemple : si \(f(x)=ax^n\), alors \(f'(x)=anx^{n-1}\) (pour \(n\in\mathbb{N}^*\)).

Fonctions rationnelles
Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes : \[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}. \] Elle est dérivable sur tout intervalle où \(Q(x)\neq 0\).

En étude de fonction, les points où \(Q(x)=0\) sont des points critiques : domaine de définition, asymptotes verticales possibles.

Fonctions trigonométriques (usuelles)
Sur leurs domaines :

• \((\sin x)’=\cos x\)
• \((\cos x)’=-\sin x\)
• \((\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}\) lorsque \(\cos x\neq 0\)

Cas de \(f^n(x)\)
Si \(f\) est dérivable et si l’expression a du sens, on dérive selon la forme. Par exemple, si \(u(x)=f(x)\) alors \((u(x))^n\) se traite comme une composée : \[ (u^n)’=n u^{n-1}u’. \]

Ici on reconnaît la composée : “puissance de \(u\)”.

VI- Dérivabilité de la composée de deux fonctions

Règle de la dérivée d’une composée
Si \(u\) est dérivable en \(x\) et \(g\) est dérivable en \(u(x)\), alors la composée \(g\circ u\) est dérivable en \(x\) et : \[ (g(u(x)))’=g'(u(x))\cdot u'(x). \]

Interprétation simple :
La variation finale dépend de deux “pentes” :

• la pente de \(u\) par rapport à \(x\) : \(u'(x)\)
• la pente de \(g\) par rapport à son entrée : \(g'(u(x))\)

Le produit traduit : “variation de sortie” = “variation interne” \(\times\) “variation externe”.

VII- La fonction dérivée de la fonction réciproque

Théorème (réciproque)
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) et strictement monotone sur \(I\), alors \(f\) est bijective de \(I\) sur \(J=f(I)\) et admet une réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J\).

Si de plus \(f'(x)\neq 0\) sur \(I\), alors \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\) et : \[ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)} \quad \text{avec } y=f(x). \]

Astuce pratique :
Pour calculer \((f^{-1})'(a)\), on suit toujours ce chemin :

1. Résoudre \(f(x)=a\) pour trouver \(x\).
2. Calculer \(f'(x)\).
3. Conclure \((f^{-1})'(a)=\frac{1}{f'(x)}\).

VIII- Tableau des fonctions dérivées des fonctions usuelles

Table essentielle (à connaître)

• \((x^n)’=n x^{n-1}\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\)
• \((\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) pour \(x>0\)
• \(\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2}\) pour \(x\neq 0\)
• \((\sin x)’=\cos x\)
• \((\cos x)’=-\sin x\)
• \((\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}\) si \(\cos x\neq 0\)

IX- Applications de la fonction dérivée première

9-1/ La monotonie d’une fonction et le signe de sa fonction dérivée

Théorème (lien dérivée / variations)
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) :

• Si \(f'(x)\ge 0\) sur \(I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\).
• Si \(f'(x)\le 0\) sur \(I\), alors \(f\) est décroissante sur \(I\).
• Si \(f'(x)=0\) sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).

Justification pédagogique :
La dérivée mesure localement la pente. Si la pente est toujours positive, la courbe “monte” partout. Si elle est toujours négative, la courbe “descend” partout.

9-2/ Extremums d’une fonction dérivable

Condition nécessaire
Si \(f\) est dérivable et admet un extremum local en \(x_0\) (maximum ou minimum), alors : \[ f'(x_0)=0. \]

Ce résultat est très utilisé : les extremums candidats se trouvent souvent parmi les solutions de \(f'(x)=0\) (et les points où \(f’\) n’existe pas, si on étudie un domaine plus large).

Procédure “bac” pour les extremums :

1. Calculer \(f'(x)\).
2. Résoudre \(f'(x)=0\) et repérer les points clés du domaine.
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) (tableau de signes).
4. Déduire le tableau de variations, puis lire les extremums.

X- Applications de la fonction dérivée seconde

10-1/ Position relative de la tangente et la courbe – la concavité

Convexité / concavité
Si \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\) :

• Si \(f”(x)\ge 0\) sur \(I\), alors \(f\) est convexe sur \(I\).
• Si \(f”(x)\le 0\) sur \(I\), alors \(f\) est concave sur \(I\).

Interprétation graphique progressive :

• Quand \(f”(x)\ge 0\), la pente \(f'(x)\) a tendance à augmenter : la courbe “se creuse vers le haut”.
• Quand \(f”(x)\le 0\), la pente \(f'(x)\) a tendance à diminuer : la courbe “se creuse vers le bas”.
• La tangente aide à visualiser : une fonction convexe est souvent au-dessus de ses tangentes localement.

10-2/ Points d’inflexions

Définition
Un point d’inflexion est un point de la courbe où la convexité change (convexe devient concave, ou l’inverse).
Méthode pratique :

• On repère les solutions de \(f”(x)=0\) (ou les points où \(f”\) n’existe pas).
• On vérifie le changement de signe de \(f”\) de part et d’autre.
• Si le signe change, alors il y a un point d’inflexion.

XI- Centre de symétrie – axe de symétrie de la courbe d’une fonction

11-1/ Centre de symétrie de la courbe d’une fonction

Idée essentielle
On cherche un point \(S(a,b)\) tel que la courbe ait une symétrie centrale par rapport à \(S\).
En pratique, on rencontre souvent le cas où \(a\) est un “milieu” naturel (translation de variable) et \(b=f(a)\) ou une valeur liée à une asymptote.

Au lycée, le centre de symétrie apparaît fréquemment avec les courbes de type rationnel (ex : présence d’asymptotes) : le centre est souvent l’intersection de deux asymptotes.

11-2/ Axe de symétrie de la courbe d’une fonction

Rappel utile
Si une courbe admet un axe vertical de symétrie \(x=a\), alors les points d’abscisses \(a-t\) et \(a+t\) donnent la même ordonnée. On exploite souvent cela via une transformation \(x\mapsto a\pm t\).

XII- Branches infinies d’une fonction

12-1/ Branches infinies

Définition (intuition)
Une branche infinie décrit le comportement de la courbe quand \(x\) s’approche d’une valeur interdite ou quand \(x\to +\infty\) ou \(x\to -\infty\).

12-2/ Asymptote verticale

Une droite \(x=a\) est une asymptote verticale si \(f(x)\to +\infty\) ou \(f(x)\to -\infty\) quand \(x\to a\) (à droite ou à gauche).

12-3/ Asymptote horizontale

Une droite \(y=\ell\) est une asymptote horizontale si : \[ \lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell \quad \text{ou} \quad \lim_{x\to -\infty} f(x)=\ell. \]

12-4/ Asymptote oblique

Une droite \(y=ax+b\) est une asymptote oblique si : \[ \lim_{x\to +\infty}(f(x)-(ax+b))=0 \quad \text{ou} \quad \lim_{x\to -\infty}(f(x)-(ax+b))=0. \]

Méthode classique : on cherche \(a=\lim \frac{f(x)}{x}\) puis \(b=\lim (f(x)-ax)\), si ces limites existent.

XIII- Bilan des branches infinies

Le bilan des branches infinies est l’étape finale de l’étude d’une fonction.
Il permet de décrire précisément le comportement de la courbe lorsque la variable s’approche des limites de son domaine de définition ou lorsque \(x\) devient très grand en valeur absolue.

Ce bilan repose sur l’étude des limites et conduit souvent à la mise en évidence d’asymptotes.

1) Bilan au voisinage d’un point interdit – Asymptote verticale

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ne contenant pas un réel \(a\).

On étudie les limites : \[ \lim_{x\to a^-} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x\to a^+} f(x). \]

Si l’une de ces limites est égale à \(+\infty\) ou à \(-\infty\), alors la droite d’équation \[ x = a \]

est une asymptote verticale à la courbe représentative de \(f\).

Schéma explicatif : asymptote verticale \(x=a\) a \(x=a\)

La courbe se rapproche de la droite \(x=a\) sans la couper. Les branches peuvent diverger vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon le sens.

2) Bilan lorsque \(x\to +\infty\) ou \(x\to -\infty\)

On étudie les limites : \[ \lim_{x\to +\infty} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x\to -\infty} f(x). \]

a) Asymptote horizontale

Si la fonction admet une limite finie \(\ell\) lorsque \(x\to +\infty\) ou \(x\to -\infty\), alors la droite d’équation \[ y = \ell \]

est une asymptote horizontale à la courbe dans le sens considéré.

Schéma explicatif : asymptote horizontale \(y=\ell\) \(\ell\) \(y=\ell\)

À l’infini, la courbe se rapproche de la droite \(y=\ell\). Elle peut l’approcher par dessus ou par dessous.

b) Asymptote oblique

Si la fonction ne tend pas vers une limite finie mais se rapproche d’une droite d’équation \[ y = ax + b, \]

alors cette droite est une asymptote oblique.

On la détermine généralement par : \[ a = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x\to \pm\infty} \bigl(f(x) – ax\bigr), \]

lorsque ces limites existent.

Schéma explicatif : asymptote oblique \(y=ax+b\) \(y=ax+b\)

À l’infini, la courbe se rapproche de la droite \(y=ax+b\) : l’écart vertical tend vers zéro.

c) Branche infinie sans asymptote

Il existe des fonctions pour lesquelles :

• la limite à l’infini est infinie,
• et la courbe ne se rapproche d’aucune droite.

Dans ce cas, la fonction n’admet aucune asymptote.

Schéma explicatif : branche infinie sans asymptote pas d’asymptote

La courbe s’éloigne indéfiniment sans se rapprocher d’une droite particulière.

3) Position relative de la courbe par rapport à une asymptote

Après avoir déterminé une asymptote, on étudie la différence :

• \(f(x) – \ell\) pour une asymptote horizontale \(y=\ell\),
• \(f(x) – (ax+b)\) pour une asymptote oblique.

• Si cette différence est positive, la courbe est au-dessus de l’asymptote.
• Si elle est négative, la courbe est au-dessous de l’asymptote.

Cette étude est indispensable pour un tracé correct de la courbe.

4) Synthèse finale du bilan

Le bilan des branches infinies consiste à :

1. Identifier les points interdits du domaine et les asymptotes verticales associées.
2. Étudier les limites de la fonction lorsque \(x\to +\infty\) et \(x\to -\infty\).
3. Déterminer l’existence d’asymptotes horizontales ou obliques.
4. Préciser la position relative de la courbe par rapport aux asymptotes.
5. Décrire clairement le comportement de chaque branche infinie.

Ce bilan permet de conclure rigoureusement l’étude de la fonction et de préparer son tracé final.

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✅ Exercice type bac : branches infinies (avec corrigé rédigé)

Énoncé :
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par : \[ f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}. \]

1. Étudier les limites de \(f(x)\) lorsque \(x\to 1^-\) et \(x\to 1^+\), puis conclure sur une asymptote verticale.
2. Montrer que la courbe admet une asymptote oblique lorsque \(x\to +\infty\) et lorsque \(x\to -\infty\).
3. Étudier la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote.

Corrigé rédigé :

1) Limites au voisinage de \(1\) et asymptote verticale
La fonction est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Le point \(x=1\) est donc un point interdit.
On remarque que le numérateur \(x^2+1\) est strictement positif pour tout \(x\), donc en particulier au voisinage de \(1\).
Lorsque \(x\to 1^-\), on a \(x-1\to 0^-\), donc \[ f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\to -\infty. \] Lorsque \(x\to 1^+\), on a \(x-1\to 0^+\), donc \[ f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\to +\infty. \] Ainsi, la droite d’équation \(\,x=1\,\) est une asymptote verticale à la courbe de \(f\).

2) Asymptote oblique à l’infini
On effectue une transformation algébrique : \[ \frac{x^2+1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)+2}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}. \] Lorsque \(x\to \pm\infty\), on a \(\frac{2}{x-1}\to 0\), donc \[ f(x)-(x+1)=\frac{2}{x-1}\to 0. \] Par conséquent, la droite \[ y=x+1 \] est une asymptote oblique à la courbe de \(f\) lorsque \(x\to +\infty\) et lorsque \(x\to -\infty\).

3) Position relative par rapport à l’asymptote
On étudie le signe de \[ f(x)-(x+1)=\frac{2}{x-1}. \] Or \(2>0\), donc le signe dépend de \(x-1\).
Si \(x>1\), alors \(x-1>0\) et \(\frac{2}{x-1}>0\), donc \(f(x)>x+1\) : la courbe est au-dessus de l’asymptote.
Si \(x<1\), alors \(x-1<0\) et \(\frac{2}{x-1}<0\), donc \(f(x)<x+1\) : la courbe est au-dessous de l’asymptote.

✅ Exercices d’application (type examen national) — Corrigés très détaillés

Exercice 1 (Nombre dérivé + tangente)
Soit \(f(x)=x^2-4x+1\).

1. Calculer \(f'(x)\).
2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x_0=2\).
3. Interpréter géométriquement le signe de \(f'(2)\).

Corrigé détaillé :

1. \(f(x)=x^2-4x+1\). On dérive terme à terme : \[ f'(x)=2x-4. \]
2. On calcule d’abord \(f(2)\) : \[ f(2)=2^2-4\cdot 2+1=4-8+1=-3. \] Puis \(f'(2)\) : \[ f'(2)=2\cdot 2-4=0. \] Équation de la tangente : \[ y=f(2)+f'(2)(x-2)=-3+0\cdot (x-2). \] Donc la tangente est : \[ y=-3. \]
3. \(f'(2)=0\) signifie que la tangente est horizontale. Géométriquement, la courbe “ne monte ni ne descend” instantanément en \(x=2\). Cela annonce souvent un extremum (ce que confirmera l’étude de \(f’\)).

Exercice 2 (Variations + extremum)
Soit \(g(x)=x^3-3x+1\).

1. Calculer \(g'(x)\).
2. Étudier le signe de \(g'(x)\) puis dresser le tableau de variations de \(g\).
3. Déterminer les extremums locaux de \(g\).

Corrigé détaillé :

1. \[ g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1). \]
2. Le facteur \(3\) est positif, donc le signe de \(g'(x)\) dépend de \((x-1)(x+1)\). Les points critiques sont \(-1\) et \(1\).
   • Si \(x<-1\), alors \(x+1<0\) et \(x-1<0\) donc produit positif \(\Rightarrow g'(x)>0\).
   • Si \(-1<x<1\), alors \(x+1>0\) et \(x-1<0\) donc produit négatif \(\Rightarrow g'(x)<0\).
   • Si \(x>1\), alors \(x+1>0\) et \(x-1>0\) donc produit positif \(\Rightarrow g'(x)>0\).
   Conclusion :
   • \(g\) croît sur \((-\infty,-1]\)
   • \(g\) décroît sur \([-1,1]\)
   • \(g\) croît sur \([1,+\infty)\)
3. On calcule les valeurs : \[ g(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3, \] \[ g(1)=1^3-3\cdot 1+1=1-3+1=-1. \] Comme \(g\) passe de croissante à décroissante en \(-1\), on a un maximum local en \(-1\) de valeur \(3\). Comme \(g\) passe de décroissante à croissante en \(1\), on a un minimum local en \(1\) de valeur \(-1\).

Exercice 3 (Convexité + point d’inflexion)
Soit \(h(x)=x^4-2x^2\).

1. Calculer \(h'(x)\) puis \(h”(x)\).
2. Étudier le signe de \(h”(x)\) et déduire la convexité.
3. Déterminer les points d’inflexion (s’il y en a).

Corrigé détaillé :

1. \[ h'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1). \] \[ h”(x)=12x^2-4=4(3x^2-1). \]
2. Le signe de \(h”(x)\) dépend de \(3x^2-1\). Résolvons \(3x^2-1=0\) : \[ x^2=\frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{\sqrt{3}} \text{ ou } x=-\frac{1}{\sqrt{3}}. \]
   • Si \(|x|<\frac{1}{\sqrt{3}}\), alors \(3x^2-1<0\) donc \(h”(x)<0\) : \(h\) est concave.
   • Si \(|x|>\frac{1}{\sqrt{3}}\), alors \(3x^2-1>0\) donc \(h”(x)>0\) : \(h\) est convexe.
3. Il y a changement de signe de \(h”\) en \(x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) et en \(x=\frac{1}{\sqrt{3}}\), donc ce sont des abscisses de points d’inflexion.
   Calcul des ordonnées : \[ h\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^4-2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 =\frac{1}{9}-2\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}-\frac{6}{9}=-\frac{5}{9}. \] De même \[ h\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{5}{9}. \] Points d’inflexion : \[ \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{5}{9}\right)\ \text{et}\ \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{5}{9}\right). \]

Exercice 4 (Fonction réciproque)
Soit \(f(x)=x^3\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \((f^{-1})'(8)\).

Corrigé détaillé :

1. \(f(x)=x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (car \(f'(x)=3x^2\ge 0\) et \(f'(x)=0\) seulement en \(0\), et la fonction reste croissante). Donc \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) et admet une réciproque \(f^{-1}\).
2. On cherche \((f^{-1})'(8)\). D’après la méthode :
   • Résoudre \(f(x)=8\) : \(x^3=8\Rightarrow x=2\).
   • Calculer \(f'(2)\) : \(f'(x)=3x^2\Rightarrow f'(2)=3\cdot 4=12\).
   • Conclure : \[ (f^{-1})'(8)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{12}. \]

Exercice 5 (Étude complète avec asymptote)
Soit \(p(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

1. Déterminer l’asymptote verticale.
2. Montrer qu’il existe une asymptote oblique \(y=ax+b\) quand \(x\to +\infty\).
3. Calculer \(p'(x)\) et étudier les variations.

Corrigé détaillé :

1. Le dénominateur s’annule en \(x=1\), donc \(x=1\) est candidat à une asymptote verticale. On sait que près de \(1\), \((x-1)\) devient très petit, alors le quotient peut devenir très grand : on conclut que l’asymptote verticale est : \[ x=1. \]
2. On effectue une division : \[ \frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}. \] (car \((x-1)(x+1)=x^2-1\), donc \(x^2+1=(x^2-1)+2\)). Quand \(x\to +\infty\), on a \(\frac{2}{x-1}\to 0\). Donc \[ p(x)-(x+1)\to 0. \] Ainsi l’asymptote oblique est : \[ y=x+1. \]
3. À partir de \(p(x)=x+1+\frac{2}{x-1}\), \[ p'(x)=1+\left(\frac{2}{x-1}\right)’. \] Or \(\frac{2}{x-1}=2(x-1)^{-1}\), donc la dérivée vaut \[ \left(\frac{2}{x-1}\right)’=-\frac{2}{(x-1)^2}. \] Ainsi \[ p'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}. \] Étude du signe : \[ p'(x)=0 \ \Longleftrightarrow\ 1=\frac{2}{(x-1)^2}\ \Longleftrightarrow\ (x-1)^2=2. \] Donc \[ x-1=\sqrt{2}\ \text{ou}\ x-1=-\sqrt{2} \Rightarrow x=1+\sqrt{2}\ \text{ou}\ x=1-\sqrt{2}. \] Ensuite :
   • Si \((x-1)^2>2\), alors \(\frac{2}{(x-1)^2}<1\) donc \(p'(x)>0\).
   • Si \((x-1)^2<2\), alors \(\frac{2}{(x-1)^2}>1\) donc \(p'(x)<0\).
   Cela permet de construire le tableau de variations sur \((-\infty,1)\) et \((1,+\infty)\) en séparant par les points \(1-\sqrt{2}\), \(1\), \(1+\sqrt{2}\).