ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
Introduction générale
Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction inconnue et ses dérivées. Elle permet de modéliser de nombreux phénomènes physiques : croissance de population, radioactivité, circuits électriques, mouvements mécaniques…
Résoudre une équation différentielle signifie déterminer toutes les fonctions qui vérifient cette relation.
I- Équation différentielle de la forme \( y’ = ay + b \)
1-1/ Propriété 1 (Cas homogène : \( y’ = ay \))
On considère l’équation :
\( y’ = ay \)
où \( a \) est un nombre réel constant.
Méthode de résolution détaillée
On cherche une fonction \( y \) dont la dérivée est proportionnelle à elle-même. On sait que la dérivée de \( e^{ax} \) est :
\( (e^{ax})’ = a e^{ax} \)
Donc la fonction exponentielle est naturellement adaptée.
La solution générale est :
\( y(x) = C e^{ax} \)
où \( C \) est une constante réelle appelée constante d’intégration.
Interprétation graphique
- Si \( a > 0 \) : croissance exponentielle.
- Si \( a < 0 \) : décroissance exponentielle.
- Si \( a = 0 \) : fonction constante.
1-2/ Propriété 2 (Cas général : \( y’ = ay + b \))
On considère :
\( y’ = ay + b \)
Étape 1 : Recherche d’une solution particulière constante
On suppose \( y = k \) constante. Alors \( y’ = 0 \).
On remplace :
\( 0 = ak + b \)
Donc :
\( k = -\frac{b}{a} \) (si \( a \neq 0 \))
Étape 2 : Solution générale
La solution générale est :
\( y(x) = C e^{ax} – \frac{b}{a} \)
Interprétation graphique
Toutes les solutions sont des exponentielles translatées verticalement. Elles admettent une asymptote horizontale d’équation :
\( y = -\frac{b}{a} \)
II- Équation différentielle de la forme \( y” + ay’ + by = 0 \)
2-1/ Définition
C’est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.
On associe l’équation caractéristique :
\( r^2 + ar + b = 0 \)
2-2/ Propriété (Selon le discriminant)
On calcule :
\( \Delta = a^2 – 4b \)
Cas 1 : \( \Delta > 0 \)
Deux racines réelles distinctes \( r_1 \) et \( r_2 \)
\( y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \)
Cas 2 : \( \Delta = 0 \)
Racine double \( r \)
\( y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{rx} \)
Cas 3 : \( \Delta < 0 \)
Racines complexes \( r = \alpha \pm i\beta \)
\( y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \)
Ce cas correspond aux phénomènes oscillatoires amortis.
III- Exercices type Examen National corrigés
3-1/ Exercice 1
Résoudre : \( y’ = 3y \)
Solution détaillée
On reconnaît la forme \( y’ = ay \) avec \( a = 3 \).
La solution générale est :
\( y(x) = C e^{3x} \)
3-2/ Exercice 2
Résoudre : \( y’ = 2y + 4 \)
Solution détaillée
On cherche d’abord une solution constante :
\( 0 = 2k + 4 \)
Donc :
\( k = -2 \)
Solution générale :
\( y(x) = C e^{2x} – 2 \)
3-3/ Exercice 3
Résoudre : \( y” – 5y’ + 6y = 0 \)
Solution détaillée
Équation caractéristique :
\( r^2 – 5r + 6 = 0 \)
Factorisation :
\( (r-2)(r-3)=0 \)
Donc :
\( r_1=2 \), \( r_2=3 \)
Solution :
\( y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x} \)
3-4/ Exercice 4 (Type Examen National)
Résoudre avec conditions initiales :
\( y” + 4y = 0 \)
avec \( y(0)=1 \) et \( y'(0)=0 \)
Solution détaillée
Équation caractéristique :
\( r^2 + 4 = 0 \)
Donc :
\( r = \pm 2i \)
Solution générale :
\( y(x)=C_1 \cos(2x)+C_2 \sin(2x) \)
Condition 1 :
\( y(0)=C_1=1 \)
Dérivée :
\( y'(x)=-2C_1 \sin(2x)+2C_2 \cos(2x) \)
Condition 2 :
\( y'(0)=2C_2=0 \Rightarrow C_2=0 \)
Solution finale :
\( y(x)=\cos(2x) \)
