FONCTIONS LOGARITHMIQUES
I- Fonction logarithme népérienne
1-1/ Définition
La fonction logarithme népérienne, notée \( \ln(x) \), est définie sur l’intervalle \( ]0,+\infty[ \).
Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle \( e^x \).
Cela signifie que :
\( e^{\ln(x)} = x \quad \text{et} \quad \ln(e^x)=x \)
Le nombre \( e \) est une constante mathématique irrationnelle telle que :
\( e \approx 2,718 \)
Interprétation fondamentale :
\( \ln(x) \) représente l’exposant auquel il faut élever \( e \) pour obtenir \( x \).
Autrement dit :
Si \( e^a = x \) alors \( \ln(x) = a \).
1-2/ Conséquences
- \( \ln(1)=0 \) car \( e^0=1 \)
- \( \ln(e)=1 \) car \( e^1=e \)
- \( \ln(e^a)=a \)
- \( e^{\ln(x)}=x \)
Ces relations permettent de transformer des équations exponentielles en équations algébriques.
1-3/ Signe de \( \ln(x) \)
La fonction logarithme est strictement croissante sur \( ]0,+\infty[ \).
On compare donc \( x \) à 1 :
- Si \( 0 < x < 1 \) alors \( \ln(x) < 0 \)
- Si \( x = 1 \) alors \( \ln(x)=0 \)
- Si \( x > 1 \) alors \( \ln(x) > 0 \)
Justification graphique :
La courbe passe par le point (1 ; 0).
Elle est située sous l’axe des abscisses entre 0 et 1.
Elle est au-dessus de l’axe pour \( x>1 \).
II- Propriétés algébriques
Pour \( x>0 \) et \( y>0 \) :
- \( \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y) \)
- \( \ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y) \)
- \( \ln(x^a)=a\ln(x) \)
Ces propriétés transforment les multiplications en additions et les puissances en produits. Elles simplifient fortement les calculs.
III- Limites
3-1/ Propriétés
\( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)
\( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
Interprétation :
- Lorsque \( x \) se rapproche de 0, \( \ln(x) \) diminue sans borne.
- Lorsque \( x \) devient très grand, \( \ln(x) \) augmente lentement mais indéfiniment.
3-2/ Remarques importantes
Comparaison des croissances :
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \)
Donc le logarithme croît beaucoup plus lentement que toute fonction polynomiale.
IV- Étude de la fonction \( f(x)=\ln(x) \)
Domaine : \( ]0,+\infty[ \)
Dérivée :
\( f'(x)=\frac{1}{x} \)
Comme \( \frac{1}{x} >0 \) sur son domaine, la fonction est strictement croissante.
Tableau de variation :
De \( -\infty \) vers \( +\infty \)
Asymptote verticale : \( x=0 \)
V- Fonction de la forme \( f(x)=\ln(u(x)) \)
5-1/ Définition
La fonction est définie lorsque :
\( u(x) >0 \)
Dérivée :
\( f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} \)
5-2/ Vocabulaire et remarque
On appelle cela une composition de fonctions.
Condition essentielle : toujours vérifier que l’expression à l’intérieur du logarithme est strictement positive.
VI- Fonction logarithme de base a
6-1/ Définition
Pour \( a>0 \) et \( a \neq 1 \) :
\( \log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)} \)
6-2/ Cas particuliers
- \( \log_{10}(x) \) : logarithme décimal
- \( \log_2(x) \) : utilisé en informatique
6-3/ Propriétés
- \( \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y) \)
- \( \log_a(x^n)=n\log_a(x) \)
EXERCICES TYPE EXAMEN NATIONAL CORRIGÉS
Exercice 1
Résoudre : \( \ln(x)=2 \)
Étape 1 : appliquer l’exponentielle
\( e^{\ln(x)} = e^2 \)
Donc :
\( x=e^2 \)
Solution finale :
\( S=\{ e^2 \} \)
Exercice 2
Étudier les variations de \( f(x)=\ln(x^2+1) \)
Domaine : défini sur \( \mathbb{R} \) car \( x^2+1>0 \)
Dérivée :
\( f'(x)=\frac{2x}{x^2+1} \)
Signe :
- Si \( x<0 \), \( f'(x)<0 \)
- Si \( x>0 \), \( f'(x)>0 \)
Conclusion :
- Décroissante sur \( ]-\infty,0] \)
- Croissante sur \( [0,+\infty[ \)
Minimum en 0 :
\( f(0)=\ln(1)=0 \)
Exercice 3 (Examen national)
Calculer :
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} \)
On sait que le logarithme croît plus lentement que toute fonction polynomiale.
Donc :
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \)
Conclusion pédagogique :
Dans une comparaison à l’infini, le logarithme est négligeable devant les puissances de x.
