Les Fonctions primitives

Cours académique (Baccalauréat) — explications progressives, interprétation graphique, méthodes et exercices corrigés.

Objectifs du cours

• Comprendre la notion de primitive comme inverse de la dérivation.
• Savoir déterminer une primitive d’une fonction dans les cas usuels.
• Maîtriser les propriétés : somme, produit par un réel, et opérations sur primitives.
• Utiliser les primitives pour traiter des exercices de type examen (calculs, justifications, méthodes).

Rappel essentiel

La dérivée d’une fonction \(F\) est une fonction \(F’\) qui mesure le taux de variation de \(F\). Dire que \(F\) est une primitive de \(f\), c’est dire que la dérivée de \(F\) est \(f\). Autrement dit, on « remonte » de \(f\) vers une fonction \(F\) qui l’a comme dérivée.

I- Primitives d’une fonction numérique

1-1/ Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) définie sur \(I\) et dérivable sur \(I\), telle que :

\[ F'(x)=f(x)\quad \text{pour tout } x\in I. \]

Interprétation pédagogique

Trouver une primitive de \(f\), c’est retrouver une fonction \(F\) dont la pente (la dérivée) à chaque point \(x\) est exactement \(f(x)\).

• Si \(f(x)\) est positive sur une zone, alors \(F\) augmente sur cette zone.
• Si \(f(x)\) est négative sur une zone, alors \(F\) diminue sur cette zone.
• Si \(f(x)=0\) en un point, alors \(F\) a une pente nulle : tangente horizontale en ce point.

Mini-exemple guidé

On sait que \(\big(x^2\big)’=2x\). Donc une primitive de \(f(x)=2x\) sur \(\mathbb{R}\) est \(F(x)=x^2\).

Mais ce n’est pas la seule : \(x^2+5\), \(x^2-3\), \(x^2+\pi\) sont aussi des primitives, car une constante ajoutée ne change pas la dérivée.

1-2/ Propriété 1

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors pour toute constante \(c\in\mathbb{R}\), la fonction \(F+c\) est aussi une primitive de \(f\) sur \(I\).

\[ (F(x)+c)’=F'(x)+0=f(x). \]

Lecture graphique

Ajouter une constante \(c\) à \(F\) revient à déplacer la courbe verticalement : même forme, mêmes pentes, mais la courbe monte ou descend d’une quantité \(c\).

1-3/ Propriété 2

Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de la même fonction \(f\) sur un intervalle \(I\), alors \(F-G\) est constante sur \(I\).

\[ (F-G)’=F’-G’=f-f=0 \quad \Rightarrow \quad F-G=c. \]

Conclusion importante

Toutes les primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent uniquement d’une constante. Ainsi, quand on trouve une primitive, on connaît en réalité toutes les primitives : \[ \text{Primitives de } f : \quad F(x)+c \quad (c\in\mathbb{R}). \]

1-4/ Propriété 3

Si l’on connaît une primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\), alors résoudre l’équation \(F'(x)=f(x)\) revient à dire que toute solution est de la forme \(F(x)+c\).

Méthode pratique (pas à pas)

1. Identifier la forme de \(f(x)\) (polynôme, exponentielle, inverse, etc.).
2. Reconnaître une dérivée connue (fonction usuelle) ou décomposer \(f\).
3. Écrire une primitive \(F\).
4. Ajouter \(+c\) pour donner la famille de primitives.

II- Fonctions primitives de la somme de deux fonctions

Si \(f\) et \(g\) admettent des primitives sur \(I\), alors \(f+g\) admet une primitive sur \(I\), et une primitive de \(f+g\) s’obtient en additionnant une primitive de \(f\) et une primitive de \(g\).

\[ \int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx. \]

Justification simple

Si \(F’=f\) et \(G’=g\), alors \((F+G)’=F’+G’=f+g\). Donc \(F+G\) est une primitive de \(f+g\).

Exemple progressif

Déterminer une primitive de \(h(x)=3x^2+2x\) sur \(\mathbb{R}\).

1. On décompose : \(h(x)=3x^2 + 2x\).
2. On connaît des primitives :
   • Une primitive de \(x^2\) est \(\frac{x^3}{3}\).
   • Une primitive de \(x\) est \(\frac{x^2}{2}\).
3. Donc une primitive de \(3x^2\) est \(3\cdot\frac{x^3}{3}=x^3\).
4. Une primitive de \(2x\) est \(2\cdot\frac{x^2}{2}=x^2\).
5. Au final : \(H(x)=x^3+x^2+c\).

III- Produit d’une fonction par un réel \( \alpha \)

Si \(f\) admet une primitive \(F\) sur \(I\) et si \(\alpha\in\mathbb{R}\), alors \(\alpha f\) admet pour primitive \(\alpha F\).

\[ \int \alpha f(x)\,dx = \alpha \int f(x)\,dx. \]

Justification (très simple)

Si \(F’=f\), alors \((\alpha F)’=\alpha F’=\alpha f\). Donc \(\alpha F\) est une primitive de \(\alpha f\).

Lecture graphique

Multiplier \(f\) par \(\alpha\) multiplie toutes les pentes de \(F\) par \(\alpha\) : si \(\alpha>1\), la courbe de \(F\) devient “plus raide”; si \(0<\alpha<1\), elle devient “moins raide”.

IV- Opérations sur les fonctions primitives

1) Linéarité (somme + réel)

Les deux règles précédentes se combinent : pour \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), une primitive de \(\alpha f+\beta g\) est \(\alpha F+\beta G\) si \(F’=f\) et \(G’=g\).

\[ \int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha\int f(x)\,dx+\beta\int g(x)\,dx. \]

2) Condition initiale

Souvent, l’exercice impose une condition du type \(F(x_0)=y_0\). Cette condition permet de déterminer la constante \(c\) dans \(F(x)+c\).

Exemple pas à pas (avec condition)

Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x)=2x\) telle que \(F(1)=3\).

1. Une primitive de \(2x\) est \(x^2\). Donc \(F(x)=x^2+c\).
2. On utilise la condition : \(F(1)=1^2+c=3\).
3. Donc \(c=2\).
4. Conclusion : \(F(x)=x^2+2\).

3) Attention : produit de deux fonctions

Il n’existe pas de règle simple du type \(\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \cdot \int g(x)\,dx\) (c’est faux en général). Pour le produit, on utilise d’autres techniques (hors objectif principal ici).

V- Fonctions primitives des fonctions usuelles

Voici les primitives usuelles à connaître (elles servent de base pour la plupart des exercices au baccalauréat). On donne à chaque fois une primitive, puis la famille \(+c\).

1) Puissances

• Pour \(n\in\mathbb{N}\), une primitive de \(x^n\) est \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) (si \(n\neq -1\)).

\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \quad (n\neq -1). \]

2) Fonction inverse

Une primitive de \(\frac{1}{x}\) sur un intervalle ne contenant pas \(0\) est \(\ln(|x|)\). (Selon réglages KaTeX/MathJax, on peut écrire \(\ln(x)\) si \(x>0\).)

\[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln(|x|)+c. \]

3) Racine carrée et inverse de racine

• \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) (sur \(x\ge 0\)) donc une primitive est \(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\).
• \(\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\) (sur \(x>0\)) donc une primitive est \(2\sqrt{x}\).

\[ \int \sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+c \quad\text{et}\quad \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+c. \]

4) Exponentielle

La fonction \(e^x\) est particulière : sa dérivée est elle-même, donc sa primitive est elle-même.

\[ \int e^x\,dx=e^x+c. \]

5) Fonctions trigonométriques

• \(\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+c\)
• \(\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+c\)

\[ \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+c \quad\text{et}\quad \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+c. \]

Conseil méthode (très important)

Pour réussir, il faut apprendre à reconnaître une fonction comme une dérivée connue. Exemple : si tu vois \(6x^5\), pense à \((x^6)’\). Donc une primitive de \(6x^5\) est \(x^6\).

✅ Exercices d’application (type examen) — Corrigés détaillés

Exercice 1 — Primitives usuelles (niveau progressif)

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes (sur un intervalle adapté), puis donner la famille de primitives.

\[ f_1(x)=3x^2,\quad f_2(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\quad f_3(x)=e^x,\quad f_4(x)=\sin(x). \]

Correction détaillée

1) Pour \(f_1(x)=3x^2\)

• On sait que \(\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+c\).
• Donc \(\int 3x^2\,dx=3\cdot\frac{x^3}{3}+c=x^3+c\).

\[ F_1(x)=x^3+c. \]

2) Pour \(f_2(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) (sur \(x>0\))

• \(\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\).
• \(\int x^{-\frac{1}{2}}\,dx=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c=2x^{\frac{1}{2}}+c=2\sqrt{x}+c\).

\[ F_2(x)=2\sqrt{x}+c. \]

3) Pour \(f_3(x)=e^x\)

• \((e^x)’=e^x\) donc \(\int e^x\,dx=e^x+c\).

\[ F_3(x)=e^x+c. \]

4) Pour \(f_4(x)=\sin(x)\)

• \((-\cos(x))’=\sin(x)\).
• Donc \(\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+c\).

\[ F_4(x)=-\cos(x)+c. \]

Exercice 2 — Linéarité (somme + réel)

Soit \(f(x)=2x^3-4x+5\). Déterminer la famille des primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Correction pas à pas

1. On utilise la linéarité : \[ \int (2x^3-4x+5)\,dx=\int 2x^3\,dx-\int 4x\,dx+\int 5\,dx. \]
2. Calcul de chaque primitive :
   • \(\int 2x^3\,dx=2\cdot\frac{x^4}{4}=\frac{x^4}{2}\).
   • \(\int 4x\,dx=4\cdot\frac{x^2}{2}=2x^2\).
   • \(\int 5\,dx=5x\).
3. On regroupe et on ajoute la constante : \[ F(x)=\frac{x^4}{2}-2x^2+5x+c. \]

Exercice 3 — Primitive avec condition (type examen)

Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x)=3x^2+2\) sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(F(0)=1\).

Correction très détaillée

1. On cherche d’abord une primitive générale : \[ \int (3x^2+2)\,dx=\int 3x^2\,dx+\int 2\,dx. \]
2. Calcul :
   • \(\int 3x^2\,dx=3\cdot\frac{x^3}{3}=x^3\).
   • \(\int 2\,dx=2x\).
   Donc \(F(x)=x^3+2x+c\).
3. On utilise la condition \(F(0)=1\) : \[ F(0)=0^3+2\cdot 0+c=c. \] On veut \(F(0)=1\), donc \(c=1\).
4. Conclusion : \[ F(x)=x^3+2x+1. \]

Exercice 4 — Interprétation graphique (raisonnement)

On considère une fonction \(F\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on sait que \(F'(x)=f(x)\). On donne :

\[ f(x)\ge 0 \text{ pour } x\in[1,4] \quad\text{et}\quad f(x)\le 0 \text{ pour } x\in[-2,1]. \]

Déduire le sens de variation de \(F\) sur \([-2,4]\) et interpréter graphiquement.

Correction guidée

1. On utilise le lien clé : \(F'(x)=f(x)\).
2. Sur \([-2,1]\), on a \(f(x)\le 0\), donc \(F'(x)\le 0\).
   Alors \(F\) est décroissante sur \([-2,1]\).
3. Sur \([1,4]\), on a \(f(x)\ge 0\), donc \(F'(x)\ge 0\).
   Alors \(F\) est croissante sur \([1,4]\).
4. Interprétation graphique :
   • Sur \([-2,1]\), les pentes de la courbe de \(F\) sont négatives ou nulles : la courbe descend.
   • Sur \([1,4]\), les pentes sont positives ou nulles : la courbe monte.
   • Au voisinage de \(x=1\), on a changement de signe : c’est souvent un point “charnière” (pente nulle possible selon \(f(1)\)).

Synthèse à retenir

• \(F\) est une primitive de \(f\) si \(F'(x)=f(x)\).
• Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+c\).
• La primitive respecte la linéarité : somme et produit par un réel.
• Graphiquement : le signe de \(f=F’\) indique si \(F\) monte ou descend.