Géométrie dans l’espace 1 : Produit scalaire
I- Produit scalaire dans l’espace
1-1 / Définition
Dans l’espace, le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est un nombre réel défini par :
\[ \vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) \]
où \(\theta\) est l’angle entre les deux vecteurs.
🔎 Interprétation géométrique :
Le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs vont dans la même direction.
- Si \(\vec{u}.\vec{v} > 0\) → angle aigu
- Si \(\vec{u}.\vec{v} = 0\) → vecteurs orthogonaux
- Si \(\vec{u}.\vec{v} < 0\) → angle obtus
—
1-2 / Remarques
- Le produit scalaire est un nombre (pas un vecteur).
- \(\vec{u}.\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\)
- Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u}.\vec{v}=0\).
—
1-3 / Propriétés
Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) et réel \(k\) :
- \(\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}\)
- \(\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}\)
- \((k\vec{u}).\vec{v} = k(\vec{u}.\vec{v})\)
—
II- Base et repère orthonormé
2-1 / Rappel
Une base orthonormée \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) vérifie : \[ \vec{i}.\vec{j} = 0 , \quad \vec{i}.\vec{k} = 0 , \quad \vec{j}.\vec{k} = 0 \] \[ \|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=\|\vec{k}\|=1 \] —
2-2 / Technique
Si \(\vec{u}(x,y,z)\) alors : \[ \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] —
2-3 / Définitions
Distance entre deux points \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(B(x_B,y_B,z_B)\) : \[ AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} \] —
III- Expression analytique de \(\vec{u}.\vec{v}\)
Si \(\vec{u}(x_1,y_1,z_1)\) et \(\vec{v}(x_2,y_2,z_2)\) \[ \vec{u}.\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \] —
IV- Ensemble des points M(x,y,z) tel que \(\overrightarrow{AM}.\vec{u}=k\)
On obtient une équation cartésienne d’un plan. —
V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal
5-1 / Vecteur normal
Un vecteur \(\vec{n}(a,b,c)\) est normal au plan si : \[ \vec{n}.\overrightarrow{AM}=0 \] —
5-2 / Équation cartésienne
\[ ax+by+cz+d=0 \] —
5-3 / Forme vectorielle
\[ \overrightarrow{AM}.\vec{n}=0 \] —
VI- Distance d’un point à un plan
6-1 / Définition
\[ d = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \] —
6-2 / Propriété
La distance est minimale parmi toutes les distances possibles. —
VII- Parallélisme et orthogonalité
7-1 / Deux plans
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Ils sont perpendiculaires si : \[ \vec{n_1}.\vec{n_2}=0 \] —
7-2 / Droite et plan
Une droite est parallèle à un plan si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal. —
VIII- Étude analytique de la sphère
8-1 / Définition
Une sphère est l’ensemble des points situés à distance constante R d’un point fixe appelé centre. —
8-2 / Équation cartésienne
\[ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2 \] —
8-3 / Sphère de diamètre [AB]
\[ \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0 \] —
8-4 / Forme développée
\[ x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0 \] —
8-5 / Position sphère-plan
- d > R → aucun point
- d = R → tangente
- d < R → cercle
—
8-6 / Position sphère-droite
Résolution par substitution paramétrique.
Exercices type examen national corrigés
Exercice 1
Soient \(\vec{u}(1,2,-1)\) et \(\vec{v}(2,0,1)\)
1- Calculer \(\vec{u}.\vec{v}\) \[ \vec{u}.\vec{v}=1\times2+2\times0+(-1)\times1 \] \[ =2+0-1=1 \]
2- Calculer l’angle \[ \|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6} \] \[ \|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt{5} \] \[ \cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{6}\sqrt{5}} \]
Angle aigu → vecteurs non orthogonaux. —
Exercice 2
Soit le plan \(P:2x-y+2z-3=0\) et le point A(1,0,2)
Calculer la distance \[ d=\frac{|2(1)-0+2(2)-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} \] \[ =\frac{|2+4-3|}{\sqrt{9}}=\frac{3}{3}=1 \]
La distance est égale à 1 unité.
