📘 Cours de Mathématiques – PROBABILITÉS
Niveau : Baccalauréat – Tous profils
I- Terminologie
1-1/ Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prévu avec certitude, même si elle est réalisée dans les mêmes conditions.
Exemples :
- Lancer une pièce.
- Lancer un dé.
- Tirer une boule d’une urne.
👉 Le résultat dépend du hasard.
1-2/ Univers
L’univers, noté \( \Omega \), est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.
Exemple :
Pour un dé :
\[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \]
1-3/ Éventualité
Une éventualité est un résultat élémentaire de l’univers.
Exemple : obtenir 4 lors du lancer d’un dé.
1-4/ Évènement
Un évènement est un sous-ensemble de l’univers.
Exemple : obtenir un nombre pair.
\[ A = \{2,4,6\} \]
II- Probabilité sur \( \Omega \)
2-1/ Probabilité d’un cas possible
La probabilité d’un évènement \(A\) est un nombre compris entre 0 et 1.
\[ 0 \leq P(A) \leq 1 \]
Si \(P(A)=0\), l’évènement est impossible.
Si \(P(A)=1\), l’évènement est certain.
2-2/ Probabilité sur un univers fini
Si l’univers contient un nombre fini d’éléments :
\[ P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \]
2-3/ Hypothèse d’équiprobabilité
Si tous les résultats sont équiprobables :
\[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \]
Exemple : probabilité d’obtenir un nombre pair au dé :
\[ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
III- Probabilité conditionnelle – Indépendance
3-1/ Probabilité conditionnelle
La probabilité de A sachant B est :
\[ P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Deux événements A et B sont indépendants si :
\[ P(A \cap B)=P(A)P(B) \]
3-2/ Probabilité totale
Si \(B_1,B_2,…,B_n\) forment une partition de l’univers :
\[ P(A)=P(A \cap B_1)+P(A \cap B_2)+…+P(A \cap B_n) \]
IV- Expérience répétée plusieurs fois
Lorsqu’une expérience est répétée indépendamment plusieurs fois, les probabilités se multiplient.
Exemple : obtenir deux fois pile :
\[ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
V- Variables aléatoires
5-1/ Variable aléatoire
Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque résultat de l’expérience.
5-2/ Loi de probabilité
La loi de probabilité donne :
\[ P(X=x_i) \]
avec
\[ \sum P(X=x_i)=1 \]
5-3/ Espérance – Variance – Écart-type
Espérance :
\[ E(X)=\sum x_i P(X=x_i) \]
Variance :
\[ V(X)=\sum (x_i-E(X))^2 P(X=x_i) \]
Écart-type :
\[ \sigma=\sqrt{V(X)} \]
VI- Loi binomiale
Si une expérience est répétée n fois, avec probabilité de succès p :
\[ P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \]
Espérance :
\[ E(X)=np \]
Variance :
\[ V(X)=np(1-p) \]
VII- Exercices type Examen National corrigés
7-1/ Exercice 1
On lance un dé équilibré. Calculer la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 4.
Solution détaillée :
Univers :
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Cas favorables : {5,6}
\[ P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
7-2/ Exercice 2
Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire une boule. Probabilité d’obtenir une rouge ?
\[ P(R)=\frac{3}{5} \]
7-3/ Exercice 3
On lance deux pièces. Probabilité d’obtenir deux piles ?
\[ \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
7-4/ Exercice 4
Soit X la variable donnant le nombre de piles en deux lancers.
Loi :
\[ P(X=0)=\frac{1}{4},\quad P(X=1)=\frac{1}{2},\quad P(X=2)=\frac{1}{4} \]
7-5/ Exercice 5
Une expérience suit une loi binomiale n=3, p=0.5. Calculer P(X=2).
\[ P(X=2)=C_3^2(0.5)^2(0.5)^1 \]
\[ =3 \times 0.25 \times 0.5=0.375 \]
7-6/ Exercice 6
Calculer l’espérance pour X précédent.
\[ E(X)=np=3 \times 0.5=1.5 \]
